Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59549 / 85086
↖ ↑ ↗
← S 47.215837°
W 16.443787°		 ← 207.46 m → S 47.215837°
W 16.441040°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
S 47.217703°
W 16.443787°		 ← 207.45 m →
43 034 m²		 S 47.217703°
W 16.441040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454326629638672 y=0.649158477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454326629638672 × 217)
    floor (0.454326629638672 × 131072)
    floor (59549.5)     		tx = 59549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649158477783203 × 217)
    floor (0.649158477783203 × 131072)
    floor (85086.5)     		ty = 85086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59549 / 85086 ti = "17/59549/85086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59549/85086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59549 ÷ 217
    59549 ÷ 131072     		x = 0.454322814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85086 ÷ 217
    85086 ÷ 131072     		y = 0.649154663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454322814941406 × 2 - 1) × π
    -0.0913543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28699822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649154663085938 × 2 - 1) × π
    -0.298309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.937166387572098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28699822} λ = -0.28699822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937166387572098))-π/2
    2×atan(0.391736292975433)-π/2
    2×0.37336225538249-π/2
    0.746724510764979-1.57079632675     		φ = -0.82407182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28699822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.443787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82407182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.215837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59549 KachelY 85086 -0.28699822 -0.82407182 -16.443787 -47.215837
    Oben rechts KachelX + 1 59550 KachelY 85086 -0.28695028 -0.82407182 -16.441040 -47.215837
    Unten links KachelX 59549 KachelY + 1 85087 -0.28699822 -0.82410438 -16.443787 -47.217703
    Unten rechts KachelX + 1 59550 KachelY + 1 85087 -0.28695028 -0.82410438 -16.441040 -47.217703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82407182--0.82410438) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dl = 207.439759999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82407182--0.82410438) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dr = 207.439759999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28699822--0.28695028) × cos(-0.82407182) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679238465791932 × 6371000     		do = 207.45691105107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28699822--0.28695028) × cos(-0.82410438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679214569073435 × 6371000     		du = 207.449612378139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82407182)-sin(-0.82410438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679238465791932-0.679214569073435)×R²
    abs(-0.28695028--0.28699822)×2.38967184976735e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38967184976735e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38967184976735e-05×40589641000000     		ar = 43034.0548250652m²