Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59547 / 84827
↖ ↑ ↗
← S 46.730449°
W 16.449280°		 ← 209.35 m → S 46.730449°
W 16.446533°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
S 46.732331°
W 16.449280°		 ← 209.34 m →
43 813 m²		 S 46.732331°
W 16.446533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454311370849609 y=0.647182464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454311370849609 × 217)
    floor (0.454311370849609 × 131072)
    floor (59547.5)     		tx = 59547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647182464599609 × 217)
    floor (0.647182464599609 × 131072)
    floor (84827.5)     		ty = 84827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59547 / 84827 ti = "17/59547/84827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59547/84827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59547 ÷ 217
    59547 ÷ 131072     		x = 0.454307556152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84827 ÷ 217
    84827 ÷ 131072     		y = 0.647178649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454307556152344 × 2 - 1) × π
    -0.0913848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28709409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647178649902344 × 2 - 1) × π
    -0.294357299804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.924750730570503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28709409} λ = -0.28709409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924750730570503))-π/2
    2×atan(0.396630274555916)-π/2
    2×0.377598070197068-π/2
    0.755196140394136-1.57079632675     		φ = -0.81560019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28709409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.449280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81560019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.730449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59547 KachelY 84827 -0.28709409 -0.81560019 -16.449280 -46.730449
    Oben rechts KachelX + 1 59548 KachelY 84827 -0.28704615 -0.81560019 -16.446533 -46.730449
    Unten links KachelX 59547 KachelY + 1 84828 -0.28709409 -0.81563304 -16.449280 -46.732331
    Unten rechts KachelX + 1 59548 KachelY + 1 84828 -0.28704615 -0.81563304 -16.446533 -46.732331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81560019--0.81563304) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dl = 209.287350000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81560019--0.81563304) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dr = 209.287350000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28709409--0.28704615) × cos(-0.81560019) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.685431496321428 × 6371000     		do = 209.348421983385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28709409--0.28704615) × cos(-0.81563304) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.685407576647246 × 6371000     		du = 209.341116299197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81560019)-sin(-0.81563304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685431496321428-0.685407576647246)×R²
    abs(-0.28704615--0.28709409)×2.39196741822489e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39196741822489e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39196741822489e-05×40589641000000     		ar = 43813.2119740282m²