Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59544 / 82472
↖ ↑ ↗
← S 42.114524°
W 16.457519°		 ← 226.52 m → S 42.114524°
W 16.454773°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 42.116562°
W 16.457519°		 ← 226.51 m →
51 318 m²		 S 42.116562°
W 16.454773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454288482666016 y=0.629215240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454288482666016 × 217)
    floor (0.454288482666016 × 131072)
    floor (59544.5)     		tx = 59544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629215240478516 × 217)
    floor (0.629215240478516 × 131072)
    floor (82472.5)     		ty = 82472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59544 / 82472 ti = "17/59544/82472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59544/82472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59544 ÷ 217
    59544 ÷ 131072     		x = 0.45428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82472 ÷ 217
    82472 ÷ 131072     		y = 0.62921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.0914306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28723790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.2584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.811859331965271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28723790} λ = -0.28723790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811859331965271))-π/2
    2×atan(0.444031695886866)-π/2
    2×0.417879610465796-π/2
    0.835759220931593-1.57079632675     		φ = -0.73503711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28723790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.457519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73503711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.114524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59544 KachelY 82472 -0.28723790 -0.73503711 -16.457519 -42.114524
    Oben rechts KachelX + 1 59545 KachelY 82472 -0.28718997 -0.73503711 -16.454773 -42.114524
    Unten links KachelX 59544 KachelY + 1 82473 -0.28723790 -0.73507267 -16.457519 -42.116562
    Unten rechts KachelX + 1 59545 KachelY + 1 82473 -0.28718997 -0.73507267 -16.454773 -42.116562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73503711--0.73507267) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dl = 226.552759999583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73503711--0.73507267) × R
    3.55599999999345e-05 × 6371000     		dr = 226.552759999583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28723790--0.28718997) × cos(-0.73503711) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.741805867402181 × 6371000     		do = 226.519345535717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28723790--0.28718997) × cos(-0.73507267) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.741782019874993 × 6371000     		du = 226.512063406405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73503711)-sin(-0.73507267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741805867402181-0.741782019874993)×R²
    abs(-0.28718997--0.28723790)×2.38475271880922e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38475271880922e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38475271880922e-05×40589641000000     		ar = 51317.7580365581m²