Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59542 / 84821
↖ ↑ ↗
← S 46.719152°
W 16.463013°		 ← 209.39 m → S 46.719152°
W 16.460266°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
S 46.721034°
W 16.463013°		 ← 209.38 m →
43 836 m²		 S 46.721034°
W 16.460266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454273223876953 y=0.647136688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454273223876953 × 217)
    floor (0.454273223876953 × 131072)
    floor (59542.5)     		tx = 59542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647136688232422 × 217)
    floor (0.647136688232422 × 131072)
    floor (84821.5)     		ty = 84821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59542 / 84821 ti = "17/59542/84821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59542/84821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59542 ÷ 217
    59542 ÷ 131072     		x = 0.454269409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84821 ÷ 217
    84821 ÷ 131072     		y = 0.647132873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454269409179688 × 2 - 1) × π
    -0.091461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28733378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647132873535156 × 2 - 1) × π
    -0.294265747070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.924463109172783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28733378} λ = -0.28733378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924463109172783))-π/2
    2×atan(0.396744370317267)-π/2
    2×0.377696652901933-π/2
    0.755393305803866-1.57079632675     		φ = -0.81540302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28733378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.463013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81540302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.719152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59542 KachelY 84821 -0.28733378 -0.81540302 -16.463013 -46.719152
    Oben rechts KachelX + 1 59543 KachelY 84821 -0.28728584 -0.81540302 -16.460266 -46.719152
    Unten links KachelX 59542 KachelY + 1 84822 -0.28733378 -0.81543588 -16.463013 -46.721034
    Unten rechts KachelX + 1 59543 KachelY + 1 84822 -0.28728584 -0.81543588 -16.460266 -46.721034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81540302--0.81543588) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81540302--0.81543588) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28733378--0.28728584) × cos(-0.81540302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685575049792802 × 6371000     		do = 209.392266908366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28733378--0.28728584) × cos(-0.81543588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685551127278326 × 6371000     		du = 209.384960356679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81540302)-sin(-0.81543588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685575049792802-0.685551127278326)×R²
    abs(-0.28728584--0.28733378)×2.39225144762489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39225144762489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39225144762489e-05×40589641000000     		ar = 43835.7282198198m²