Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59541 / 84825
↖ ↑ ↗
← S 46.726683°
W 16.465759°		 ← 209.32 m → S 46.726683°
W 16.463013°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
S 46.728566°
W 16.465759°		 ← 209.31 m →
43 820 m²		 S 46.728566°
W 16.463013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454265594482422 y=0.647167205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454265594482422 × 217)
    floor (0.454265594482422 × 131072)
    floor (59541.5)     		tx = 59541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647167205810547 × 217)
    floor (0.647167205810547 × 131072)
    floor (84825.5)     		ty = 84825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59541 / 84825 ti = "17/59541/84825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59541/84825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59541 ÷ 217
    59541 ÷ 131072     		x = 0.454261779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84825 ÷ 217
    84825 ÷ 131072     		y = 0.647163391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454261779785156 × 2 - 1) × π
    -0.0914764404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28738171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647163391113281 × 2 - 1) × π
    -0.294326782226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.924654856771263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28738171} λ = -0.28738171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924654856771263))-π/2
    2×atan(0.39666830283016)-π/2
    2×0.37763092880491-π/2
    0.75526185760982-1.57079632675     		φ = -0.81553447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28738171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.465759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81553447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.726683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59541 KachelY 84825 -0.28738171 -0.81553447 -16.465759 -46.726683
    Oben rechts KachelX + 1 59542 KachelY 84825 -0.28733378 -0.81553447 -16.463013 -46.726683
    Unten links KachelX 59541 KachelY + 1 84826 -0.28738171 -0.81556733 -16.465759 -46.728566
    Unten rechts KachelX + 1 59542 KachelY + 1 84826 -0.28733378 -0.81556733 -16.463013 -46.728566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81553447--0.81556733) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81553447--0.81556733) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28738171--0.28733378) × cos(-0.81553447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.685479348012615 × 6371000     		do = 209.319365232337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28738171--0.28733378) × cos(-0.81556733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.685455422537092 × 6371000     		du = 209.312059300562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81553447)-sin(-0.81556733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685479348012615-0.685455422537092)×R²
    abs(-0.28733378--0.28738171)×2.3925475522879e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3925475522879e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3925475522879e-05×40589641000000     		ar = 43820.4662416867m²