Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59540 / 59793
↖ ↑ ↗
← S 81.427864°
E147.062988°		 ← 91.05 m → S 81.427864°
E147.068482°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 81.428683°
E147.062988°		 ← 91.04 m →
8 289 m²		 S 81.428683°
E147.068482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908515930175781 y=0.912376403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908515930175781 × 216)
    floor (0.908515930175781 × 65536)
    floor (59540.5)     		tx = 59540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912376403808594 × 216)
    floor (0.912376403808594 × 65536)
    floor (59793.5)     		ty = 59793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59540 / 59793 ti = "16/59540/59793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59540/59793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59540 ÷ 216
    59540 ÷ 65536     		x = 0.90850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59793 ÷ 216
    59793 ÷ 65536     		y = 0.912368774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90850830078125 × 2 - 1) × π
    0.8170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56673335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912368774414062 × 2 - 1) × π
    -0.824737548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59098942446404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56673335} λ = 2.56673335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59098942446404))-π/2
    2×atan(0.0749458501311039)-π/2
    2×0.0748060005137201-π/2
    0.14961200102744-1.57079632675     		φ = -1.42118433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56673335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42118433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.427864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59540 KachelY 59793 2.56673335 -1.42118433 147.062988 -81.427864
    Oben rechts KachelX + 1 59541 KachelY 59793 2.56682923 -1.42118433 147.068482 -81.427864
    Unten links KachelX 59540 KachelY + 1 59794 2.56673335 -1.42119862 147.062988 -81.428683
    Unten rechts KachelX + 1 59541 KachelY + 1 59794 2.56682923 -1.42119862 147.068482 -81.428683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42118433--1.42119862) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42118433--1.42119862) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56673335-2.56682923) × cos(-1.42118433) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.14905447488718 × 6371000     		do = 91.0501465858186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56673335-2.56682923) × cos(-1.42119862) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.149040344505752 × 6371000     		du = 91.0415150214104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42118433)-sin(-1.42119862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14905447488718-0.149040344505752)×R²
    abs(2.56682923-2.56673335)×1.41303814279459e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.41303814279459e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.41303814279459e-05×40589641000000     		ar = 8288.9571993904m²