Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5954 / 6867
↖ ↑ ↗
← N 27.936180°
W 49.174805°		 ← 2 158.51 m → N 27.936180°
W 49.152832°		 →
↑
2 158.75 m
↓
↑
2 158.75 m
↓
N 27.916766°
W 49.174805°		 ← 2 158.89 m →
4 660 095 m²		 N 27.916766°
W 49.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363433837890625 y=0.419158935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363433837890625 × 214)
    floor (0.363433837890625 × 16384)
    floor (5954.5)     		tx = 5954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419158935546875 × 214)
    floor (0.419158935546875 × 16384)
    floor (6867.5)     		ty = 6867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5954 / 6867 ti = "14/5954/6867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5954/6867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5954 ÷ 214
    5954 ÷ 16384     		x = 0.3634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6867 ÷ 214
    6867 ÷ 16384     		y = 0.41912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85826225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41912841796875 × 2 - 1) × π
    0.1617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.508131135972595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85826225} λ = -0.85826225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508131135972595))-π/2
    2×atan(1.66218189846764)-π/2
    2×1.02918732905192-π/2
    2.05837465810385-1.57079632675     		φ = 0.48757833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85826225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48757833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.936180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5954 KachelY 6867 -0.85826225 0.48757833 -49.174805 27.936180
    Oben rechts KachelX + 1 5955 KachelY 6867 -0.85787876 0.48757833 -49.152832 27.936180
    Unten links KachelX 5954 KachelY + 1 6868 -0.85826225 0.48723949 -49.174805 27.916766
    Unten rechts KachelX + 1 5955 KachelY + 1 6868 -0.85787876 0.48723949 -49.152832 27.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48757833-0.48723949) × R
    0.000338840000000007 × 6371000     		dl = 2158.74964000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48757833-0.48723949) × R
    0.000338840000000007 × 6371000     		dr = 2158.74964000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85826225--0.85787876) × cos(0.48757833) × R
    0.000383490000000042 × 0.883469970877867 × 6371000     		do = 2158.50689936991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85826225--0.85787876) × cos(0.48723949) × R
    0.000383490000000042 × 0.883628662561301 × 6371000     		du = 2158.89461723793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48757833)-sin(0.48723949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883469970877867-0.883628662561301)×R²
    abs(-0.85787876--0.85826225)×0.000158691683434298×R²
    0.000383490000000042×0.000158691683434298×6371000²
    0.000383490000000042×0.000158691683434298×40589641000000     		ar = 4660094.52944274m²