Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59538 / 85346
↖ ↑ ↗
← S 47.698672°
W 16.473999°		 ← 205.52 m → S 47.698672°
W 16.471253°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
S 47.700520°
W 16.473999°		 ← 205.51 m →
42 239 m²		 S 47.700520°
W 16.471253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454242706298828 y=0.651142120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454242706298828 × 217)
    floor (0.454242706298828 × 131072)
    floor (59538.5)     		tx = 59538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651142120361328 × 217)
    floor (0.651142120361328 × 131072)
    floor (85346.5)     		ty = 85346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59538 / 85346 ti = "17/59538/85346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59538/85346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59538 ÷ 217
    59538 ÷ 131072     		x = 0.454238891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85346 ÷ 217
    85346 ÷ 131072     		y = 0.651138305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454238891601562 × 2 - 1) × π
    -0.091522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28752552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651138305664062 × 2 - 1) × π
    -0.302276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.949629981473312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28752552} λ = -0.28752552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949629981473312))-π/2
    2×atan(0.386884151276549)-π/2
    2×0.369148729847465-π/2
    0.73829745969493-1.57079632675     		φ = -0.83249887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28752552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.473999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83249887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.698672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59538 KachelY 85346 -0.28752552 -0.83249887 -16.473999 -47.698672
    Oben rechts KachelX + 1 59539 KachelY 85346 -0.28747759 -0.83249887 -16.471253 -47.698672
    Unten links KachelX 59538 KachelY + 1 85347 -0.28752552 -0.83253113 -16.473999 -47.700520
    Unten rechts KachelX + 1 59539 KachelY + 1 85347 -0.28747759 -0.83253113 -16.471253 -47.700520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83249887--0.83253113) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83249887--0.83253113) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28752552--0.28747759) × cos(-0.83249887) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.673029660345472 × 6371000     		do = 205.517703333192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28752552--0.28747759) × cos(-0.83253113) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.673005799999484 × 6371000     		du = 205.510417289504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83249887)-sin(-0.83253113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673029660345472-0.673005799999484)×R²
    abs(-0.28747759--0.28752552)×2.38603459876696e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38603459876696e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38603459876696e-05×40589641000000     		ar = 42238.9883278599m²