Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59538 / 85340
↖ ↑ ↗
← S 47.687579°
W 16.473999°		 ← 205.56 m → S 47.687579°
W 16.471253°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 47.689428°
W 16.473999°		 ← 205.55 m →
42 261 m²		 S 47.689428°
W 16.471253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454242706298828 y=0.651096343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454242706298828 × 217)
    floor (0.454242706298828 × 131072)
    floor (59538.5)     		tx = 59538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651096343994141 × 217)
    floor (0.651096343994141 × 131072)
    floor (85340.5)     		ty = 85340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59538 / 85340 ti = "17/59538/85340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59538/85340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59538 ÷ 217
    59538 ÷ 131072     		x = 0.454238891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85340 ÷ 217
    85340 ÷ 131072     		y = 0.651092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454238891601562 × 2 - 1) × π
    -0.091522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28752552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.30218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949342360075592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28752552} λ = -0.28752552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949342360075592))-π/2
    2×atan(0.386995443441132)-π/2
    2×0.369245529008618-π/2
    0.738491058017236-1.57079632675     		φ = -0.83230527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28752552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.473999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83230527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.687579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59538 KachelY 85340 -0.28752552 -0.83230527 -16.473999 -47.687579
    Oben rechts KachelX + 1 59539 KachelY 85340 -0.28747759 -0.83230527 -16.471253 -47.687579
    Unten links KachelX 59538 KachelY + 1 85341 -0.28752552 -0.83233754 -16.473999 -47.689428
    Unten rechts KachelX + 1 59539 KachelY + 1 85341 -0.28747759 -0.83233754 -16.471253 -47.689428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83230527--0.83233754) × R
    3.22700000000564e-05 × 6371000     		dl = 205.592170000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83230527--0.83233754) × R
    3.22700000000564e-05 × 6371000     		dr = 205.592170000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28752552--0.28747759) × cos(-0.83230527) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.673172837290968 × 6371000     		do = 205.561424135917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28752552--0.28747759) × cos(-0.83233754) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.673148973753715 × 6371000     		du = 205.554137117739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83230527)-sin(-0.83233754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673172837290968-0.673148973753715)×R²
    abs(-0.28747759--0.28752552)×2.38635372530327e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38635372530327e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38635372530327e-05×40589641000000     		ar = 42261.0701833203m²