Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59538 / 82038
↖ ↑ ↗
← S 41.224117°
W 16.473999°		 ← 229.67 m → S 41.224117°
W 16.471253°		 →
↑
229.74 m
↓
↑
229.74 m
↓
S 41.226183°
W 16.473999°		 ← 229.67 m →
52 764 m²		 S 41.226183°
W 16.471253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454242706298828 y=0.625904083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454242706298828 × 217)
    floor (0.454242706298828 × 131072)
    floor (59538.5)     		tx = 59538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625904083251953 × 217)
    floor (0.625904083251953 × 131072)
    floor (82038.5)     		ty = 82038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59538 / 82038 ti = "17/59538/82038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59538/82038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59538 ÷ 217
    59538 ÷ 131072     		x = 0.454238891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82038 ÷ 217
    82038 ÷ 131072     		y = 0.625900268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454238891601562 × 2 - 1) × π
    -0.091522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28752552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625900268554688 × 2 - 1) × π
    -0.251800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.791054717530167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28752552} λ = -0.28752552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791054717530167))-π/2
    2×atan(0.453366369567142)-π/2
    2×0.425649872337058-π/2
    0.851299744674116-1.57079632675     		φ = -0.71949658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28752552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.473999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71949658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.224117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59538 KachelY 82038 -0.28752552 -0.71949658 -16.473999 -41.224117
    Oben rechts KachelX + 1 59539 KachelY 82038 -0.28747759 -0.71949658 -16.471253 -41.224117
    Unten links KachelX 59538 KachelY + 1 82039 -0.28752552 -0.71953264 -16.473999 -41.226183
    Unten rechts KachelX + 1 59539 KachelY + 1 82039 -0.28747759 -0.71953264 -16.471253 -41.226183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71949658--0.71953264) × R
    3.60599999998934e-05 × 6371000     		dl = 229.738259999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71949658--0.71953264) × R
    3.60599999998934e-05 × 6371000     		dr = 229.738259999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28752552--0.28747759) × cos(-0.71949658) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.752137581292739 × 6371000     		do = 229.674258662715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28752552--0.28747759) × cos(-0.71953264) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.752113817043248 × 6371000     		du = 229.66700196325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71949658)-sin(-0.71953264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752137581292739-0.752113817043248)×R²
    abs(-0.28747759--0.28752552)×2.37642494909096e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37642494909096e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37642494909096e-05×40589641000000     		ar = 52764.1309866398m²