Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59538 / 59792
↖ ↑ ↗
← S 81.427045°
E147.052002°		 ← 91.05 m → S 81.427045°
E147.057495°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
S 81.427864°
E147.052002°		 ← 91.04 m →
8 295 m²		 S 81.427864°
E147.057495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908485412597656 y=0.912361145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908485412597656 × 216)
    floor (0.908485412597656 × 65536)
    floor (59538.5)     		tx = 59538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912361145019531 × 216)
    floor (0.912361145019531 × 65536)
    floor (59792.5)     		ty = 59792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59538 / 59792 ti = "16/59538/59792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59538/59792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59538 ÷ 216
    59538 ÷ 65536     		x = 0.908477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59792 ÷ 216
    59792 ÷ 65536     		y = 0.912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908477783203125 × 2 - 1) × π
    0.81695556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56654161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.82470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59089355066479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56654161} λ = 2.56654161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59089355066479))-π/2
    2×atan(0.0749530358189474)-π/2
    2×0.0748131460620247-π/2
    0.149626292124049-1.57079632675     		φ = -1.42117003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56654161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.052002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42117003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.427045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59538 KachelY 59792 2.56654161 -1.42117003 147.052002 -81.427045
    Oben rechts KachelX + 1 59539 KachelY 59792 2.56663748 -1.42117003 147.057495 -81.427045
    Unten links KachelX 59538 KachelY + 1 59793 2.56654161 -1.42118433 147.052002 -81.427864
    Unten rechts KachelX + 1 59539 KachelY + 1 59793 2.56663748 -1.42118433 147.057495 -81.427864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42117003--1.42118433) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42117003--1.42118433) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56654161-2.56663748) × cos(-1.42117003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149068615126439 × 6371000     		do = 91.0492870100638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56654161-2.56663748) × cos(-1.42118433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14905447488718 × 6371000     		du = 91.0406503248596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42117003)-sin(-1.42118433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149068615126439-0.14905447488718)×R²
    abs(2.56663748-2.56654161)×1.41402392588863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41402392588863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41402392588863e-05×40589641000000     		ar = 8294.67918416824m²