Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59537 / 59791
↖ ↑ ↗
← S 81.426226°
E147.046509°		 ← 91.07 m → S 81.426226°
E147.052002°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 81.427045°
E147.046509°		 ← 91.06 m →
8 291 m²		 S 81.427045°
E147.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908470153808594 y=0.912345886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908470153808594 × 216)
    floor (0.908470153808594 × 65536)
    floor (59537.5)     		tx = 59537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912345886230469 × 216)
    floor (0.912345886230469 × 65536)
    floor (59791.5)     		ty = 59791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59537 / 59791 ti = "16/59537/59791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59537/59791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59537 ÷ 216
    59537 ÷ 65536     		x = 0.908462524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59791 ÷ 216
    59791 ÷ 65536     		y = 0.912338256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908462524414062 × 2 - 1) × π
    0.816925048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.56644573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912338256835938 × 2 - 1) × π
    -0.824676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59079767686555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56644573} λ = 2.56644573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59079767686555))-π/2
    2×atan(0.074960222195743)-π/2
    2×0.0748202922877778-π/2
    0.149640584575556-1.57079632675     		φ = -1.42115574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56644573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.046509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42115574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.426226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59537 KachelY 59791 2.56644573 -1.42115574 147.046509 -81.426226
    Oben rechts KachelX + 1 59538 KachelY 59791 2.56654161 -1.42115574 147.052002 -81.426226
    Unten links KachelX 59537 KachelY + 1 59792 2.56644573 -1.42117003 147.046509 -81.427045
    Unten rechts KachelX + 1 59538 KachelY + 1 59792 2.56654161 -1.42117003 147.052002 -81.427045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42115574--1.42117003) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dl = 91.0415900012387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42115574--1.42117003) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dr = 91.0415900012387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56644573-2.56654161) × cos(-1.42115574) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149082745446968 × 6371000     		do = 91.0674156986837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56644573-2.56654161) × cos(-1.42117003) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149068615126439 × 6371000     		du = 91.0587841714758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42115574)-sin(-1.42117003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149082745446968-0.149068615126439)×R²
    abs(2.56654161-2.56644573)×1.41303205288823e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41303205288823e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41303205288823e-05×40589641000000     		ar = 8290.52940857094m²