Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59536 / 85341
↖ ↑ ↗
← S 47.689428°
W 16.479492°		 ← 205.60 m → S 47.689428°
W 16.476746°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
S 47.691277°
W 16.479492°		 ← 205.59 m →
42 268 m²		 S 47.691277°
W 16.476746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454227447509766 y=0.651103973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454227447509766 × 217)
    floor (0.454227447509766 × 131072)
    floor (59536.5)     		tx = 59536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651103973388672 × 217)
    floor (0.651103973388672 × 131072)
    floor (85341.5)     		ty = 85341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59536 / 85341 ti = "17/59536/85341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59536/85341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59536 ÷ 217
    59536 ÷ 131072     		x = 0.4542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85341 ÷ 217
    85341 ÷ 131072     		y = 0.651100158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28762140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651100158691406 × 2 - 1) × π
    -0.302200317382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.949390296975212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28762140} λ = -0.28762140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949390296975212))-π/2
    2×atan(0.386976892524047)-π/2
    2×0.369229394385212-π/2
    0.738458788770424-1.57079632675     		φ = -0.83233754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28762140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.479492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83233754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.689428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59536 KachelY 85341 -0.28762140 -0.83233754 -16.479492 -47.689428
    Oben rechts KachelX + 1 59537 KachelY 85341 -0.28757346 -0.83233754 -16.476746 -47.689428
    Unten links KachelX 59536 KachelY + 1 85342 -0.28762140 -0.83236981 -16.479492 -47.691277
    Unten rechts KachelX + 1 59537 KachelY + 1 85342 -0.28757346 -0.83236981 -16.476746 -47.691277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83233754--0.83236981) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dl = 205.592169999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83233754--0.83236981) × R
    3.22699999999454e-05 × 6371000     		dr = 205.592169999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28762140--0.28757346) × cos(-0.83233754) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673148973753715 × 6371000     		do = 205.597023439072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28762140--0.28757346) × cos(-0.83236981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673125109515476 × 6371000     		du = 205.589734686449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83233754)-sin(-0.83236981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673148973753715-0.673125109515476)×R²
    abs(-0.28757346--0.28762140)×2.38642382386356e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38642382386356e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38642382386356e-05×40589641000000     		ar = 42268.3889425756m²