Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59535 / 81767
↖ ↑ ↗
← S 40.661889°
W 16.482239°		 ← 231.64 m → S 40.661889°
W 16.479492°		 →
↑
231.65 m
↓
↑
231.65 m
↓
S 40.663973°
W 16.482239°		 ← 231.63 m →
53 658 m²		 S 40.663973°
W 16.479492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454219818115234 y=0.623836517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454219818115234 × 217)
    floor (0.454219818115234 × 131072)
    floor (59535.5)     		tx = 59535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623836517333984 × 217)
    floor (0.623836517333984 × 131072)
    floor (81767.5)     		ty = 81767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59535 / 81767 ti = "17/59535/81767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59535/81767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59535 ÷ 217
    59535 ÷ 131072     		x = 0.454216003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81767 ÷ 217
    81767 ÷ 131072     		y = 0.623832702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454216003417969 × 2 - 1) × π
    -0.0915679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28766933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623832702636719 × 2 - 1) × π
    -0.247665405273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.778063817733131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28766933} λ = -0.28766933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778063817733131))-π/2
    2×atan(0.459294428686787)-π/2
    2×0.43055623800161-π/2
    0.86111247600322-1.57079632675     		φ = -0.70968385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28766933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.482239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70968385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.661889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59535 KachelY 81767 -0.28766933 -0.70968385 -16.482239 -40.661889
    Oben rechts KachelX + 1 59536 KachelY 81767 -0.28762140 -0.70968385 -16.479492 -40.661889
    Unten links KachelX 59535 KachelY + 1 81768 -0.28766933 -0.70972021 -16.482239 -40.663973
    Unten rechts KachelX + 1 59536 KachelY + 1 81768 -0.28762140 -0.70972021 -16.479492 -40.663973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70968385--0.70972021) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dl = 231.649559999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70968385--0.70972021) × R
    3.63599999999575e-05 × 6371000     		dr = 231.649559999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28766933--0.28762140) × cos(-0.70968385) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.758567915334337 × 6371000     		do = 231.637838519235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28766933--0.28762140) × cos(-0.70972021) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.758544222875712 × 6371000     		du = 231.630603741973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70968385)-sin(-0.70972021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758567915334337-0.758544222875712)×R²
    abs(-0.28762140--0.28766933)×2.36924586249909e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36924586249909e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36924586249909e-05×40589641000000     		ar = 53657.9654116121m²