Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59535 / 58862
↖ ↑ ↗
← S 80.630952°
E147.035522°		 ← 99.44 m → S 80.630952°
E147.041016°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
S 80.631846°
E147.035522°		 ← 99.43 m →
9 889 m²		 S 80.631846°
E147.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908439636230469 y=0.898170471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908439636230469 × 216)
    floor (0.908439636230469 × 65536)
    floor (59535.5)     		tx = 59535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898170471191406 × 216)
    floor (0.898170471191406 × 65536)
    floor (58862.5)     		ty = 58862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59535 / 58862 ti = "16/59535/58862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59535/58862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59535 ÷ 216
    59535 ÷ 65536     		x = 0.908432006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58862 ÷ 216
    58862 ÷ 65536     		y = 0.898162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908432006835938 × 2 - 1) × π
    0.816864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56625398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.79632568359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50173091737149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56625398} λ = 2.56625398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50173091737149))-π/2
    2×atan(0.0819430391693283)-π/2
    2×0.0817603679570353-π/2
    0.163520735914071-1.57079632675     		φ = -1.40727559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56625398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.035522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40727559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.630952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59535 KachelY 58862 2.56625398 -1.40727559 147.035522 -80.630952
    Oben rechts KachelX + 1 59536 KachelY 58862 2.56634986 -1.40727559 147.041016 -80.630952
    Unten links KachelX 59535 KachelY + 1 58863 2.56625398 -1.40729120 147.035522 -80.631846
    Unten rechts KachelX + 1 59536 KachelY + 1 58863 2.56634986 -1.40729120 147.041016 -80.631846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40727559--1.40729120) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40727559--1.40729120) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56625398-2.56634986) × cos(-1.40727559) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162792979434689 × 6371000     		do = 99.4423324212239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56625398-2.56634986) × cos(-1.40729120) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162777577648377 × 6371000     		du = 99.4329242172609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40727559)-sin(-1.40729120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162792979434689-0.162777577648377)×R²
    abs(2.56634986-2.56625398)×1.54017863114864e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54017863114864e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54017863114864e-05×40589641000000     		ar = 9889.20239982997m²