Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59533 / 82039
↖ ↑ ↗
← S 41.226183°
W 16.487732°		 ← 229.71 m → S 41.226183°
W 16.484985°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
S 41.228249°
W 16.487732°		 ← 229.71 m →
52 759 m²		 S 41.228249°
W 16.484985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454204559326172 y=0.625911712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454204559326172 × 217)
    floor (0.454204559326172 × 131072)
    floor (59533.5)     		tx = 59533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625911712646484 × 217)
    floor (0.625911712646484 × 131072)
    floor (82039.5)     		ty = 82039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59533 / 82039 ti = "17/59533/82039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59533/82039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59533 ÷ 217
    59533 ÷ 131072     		x = 0.454200744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82039 ÷ 217
    82039 ÷ 131072     		y = 0.625907897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454200744628906 × 2 - 1) × π
    -0.0915985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28776521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625907897949219 × 2 - 1) × π
    -0.251815795898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.791102654429787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28776521} λ = -0.28776521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791102654429787))-π/2
    2×atan(0.453344637109891)-π/2
    2×0.425631845049977-π/2
    0.851263690099954-1.57079632675     		φ = -0.71953264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28776521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.487732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71953264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.226183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59533 KachelY 82039 -0.28776521 -0.71953264 -16.487732 -41.226183
    Oben rechts KachelX + 1 59534 KachelY 82039 -0.28771727 -0.71953264 -16.484985 -41.226183
    Unten links KachelX 59533 KachelY + 1 82040 -0.28776521 -0.71956869 -16.487732 -41.228249
    Unten rechts KachelX + 1 59534 KachelY + 1 82040 -0.28771727 -0.71956869 -16.484985 -41.228249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71953264--0.71956869) × R
    3.60500000000652e-05 × 6371000     		dl = 229.674550000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71953264--0.71956869) × R
    3.60500000000652e-05 × 6371000     		dr = 229.674550000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28776521--0.28771727) × cos(-0.71953264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752113817043248 × 6371000     		do = 229.714919134508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28776521--0.28771727) × cos(-0.71956869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.752090058406369 × 6371000     		du = 229.707662635258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71953264)-sin(-0.71956869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752113817043248-0.752090058406369)×R²
    abs(-0.28771727--0.28776521)×2.37586368788678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37586368788678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37586368788678e-05×40589641000000     		ar = 52758.8373698763m²