Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59532 / 82166
↖ ↑ ↗
← S 41.488006°
W 16.490479°		 ← 228.79 m → S 41.488006°
W 16.487732°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 41.490063°
W 16.490479°		 ← 228.79 m →
52 328 m²		 S 41.490063°
W 16.487732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454196929931641 y=0.626880645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454196929931641 × 217)
    floor (0.454196929931641 × 131072)
    floor (59532.5)     		tx = 59532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626880645751953 × 217)
    floor (0.626880645751953 × 131072)
    floor (82166.5)     		ty = 82166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59532 / 82166 ti = "17/59532/82166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59532/82166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59532 ÷ 217
    59532 ÷ 131072     		x = 0.454193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82166 ÷ 217
    82166 ÷ 131072     		y = 0.626876831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.09161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28781315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626876831054688 × 2 - 1) × π
    -0.253753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.797190640681534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28781315} λ = -0.28781315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797190640681534))-π/2
    2×atan(0.450593065455649)-π/2
    2×0.423347010385354-π/2
    0.846694020770709-1.57079632675     		φ = -0.72410231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28781315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.490479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72410231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.488006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59532 KachelY 82166 -0.28781315 -0.72410231 -16.490479 -41.488006
    Oben rechts KachelX + 1 59533 KachelY 82166 -0.28776521 -0.72410231 -16.487732 -41.488006
    Unten links KachelX 59532 KachelY + 1 82167 -0.28781315 -0.72413821 -16.490479 -41.490063
    Unten rechts KachelX + 1 59533 KachelY + 1 82167 -0.28776521 -0.72413821 -16.487732 -41.490063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72410231--0.72413821) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dl = 228.718899999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72410231--0.72413821) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dr = 228.718899999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28781315--0.28776521) × cos(-0.72410231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.749094410353625 × 6371000     		do = 228.792714612235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28781315--0.28776521) × cos(-0.72413821) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.749070627440051 × 6371000     		du = 228.785450698257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72410231)-sin(-0.72413821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749094410353625-0.749070627440051)×R²
    abs(-0.28776521--0.28781315)×2.37829135736334e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37829135736334e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37829135736334e-05×40589641000000     		ar = 52328.3873224255m²