Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59529 / 84921
↖ ↑ ↗
← S 46.907122°
W 16.498718°		 ← 208.66 m → S 46.907122°
W 16.495972°		 →
↑
208.65 m
↓
↑
208.65 m
↓
S 46.908998°
W 16.498718°		 ← 208.65 m →
43 537 m²		 S 46.908998°
W 16.495972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454174041748047 y=0.647899627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454174041748047 × 217)
    floor (0.454174041748047 × 131072)
    floor (59529.5)     		tx = 59529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647899627685547 × 217)
    floor (0.647899627685547 × 131072)
    floor (84921.5)     		ty = 84921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59529 / 84921 ti = "17/59529/84921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59529/84921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59529 ÷ 217
    59529 ÷ 131072     		x = 0.454170227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84921 ÷ 217
    84921 ÷ 131072     		y = 0.647895812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454170227050781 × 2 - 1) × π
    -0.0916595458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28795696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647895812988281 × 2 - 1) × π
    -0.295791625976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.929256799134789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28795696} λ = -0.28795696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929256799134789))-π/2
    2×atan(0.394847052022904)-π/2
    2×0.376056302661487-π/2
    0.752112605322975-1.57079632675     		φ = -0.81868372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28795696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.498718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81868372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.907122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59529 KachelY 84921 -0.28795696 -0.81868372 -16.498718 -46.907122
    Oben rechts KachelX + 1 59530 KachelY 84921 -0.28790902 -0.81868372 -16.495972 -46.907122
    Unten links KachelX 59529 KachelY + 1 84922 -0.28795696 -0.81871647 -16.498718 -46.908998
    Unten rechts KachelX + 1 59530 KachelY + 1 84922 -0.28790902 -0.81871647 -16.495972 -46.908998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81868372--0.81871647) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dl = 208.650250000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81868372--0.81871647) × R
    3.27500000000258e-05 × 6371000     		dr = 208.650250000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28795696--0.28790902) × cos(-0.81868372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683183008636689 × 6371000     		do = 208.66167596815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28795696--0.28790902) × cos(-0.81871647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683159092674434 × 6371000     		du = 208.654371417681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81868372)-sin(-0.81871647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683183008636689-0.683159092674434)×R²
    abs(-0.28790902--0.28795696)×2.39159622547058e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39159622547058e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39159622547058e-05×40589641000000     		ar = 43536.5488118875m²