Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59526 / 85312
↖ ↑ ↗
← S 47.635784°
W 16.506958°		 ← 205.81 m → S 47.635784°
W 16.504211°		 →
↑
205.78 m
↓
↑
205.78 m
↓
S 47.637635°
W 16.506958°		 ← 205.80 m →
42 351 m²		 S 47.637635°
W 16.504211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454151153564453 y=0.650882720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454151153564453 × 217)
    floor (0.454151153564453 × 131072)
    floor (59526.5)     		tx = 59526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650882720947266 × 217)
    floor (0.650882720947266 × 131072)
    floor (85312.5)     		ty = 85312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59526 / 85312 ti = "17/59526/85312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59526/85312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59526 ÷ 217
    59526 ÷ 131072     		x = 0.454147338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85312 ÷ 217
    85312 ÷ 131072     		y = 0.65087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454147338867188 × 2 - 1) × π
    -0.091705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28810077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65087890625 × 2 - 1) × π
    -0.3017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.94800012688623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28810077} λ = -0.28810077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94800012688623))-π/2
    2×atan(0.38751523032902)-π/2
    2×0.369697530692538-π/2
    0.739395061385076-1.57079632675     		φ = -0.83140127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28810077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.506958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83140127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.635784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59526 KachelY 85312 -0.28810077 -0.83140127 -16.506958 -47.635784
    Oben rechts KachelX + 1 59527 KachelY 85312 -0.28805283 -0.83140127 -16.504211 -47.635784
    Unten links KachelX 59526 KachelY + 1 85313 -0.28810077 -0.83143357 -16.506958 -47.637635
    Unten rechts KachelX + 1 59527 KachelY + 1 85313 -0.28805283 -0.83143357 -16.504211 -47.637635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83140127--0.83143357) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dl = 205.783299999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83140127--0.83143357) × R
    3.22999999999851e-05 × 6371000     		dr = 205.783299999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28810077--0.28805283) × cos(-0.83140127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673841056738662 × 6371000     		do = 205.808403396891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28810077--0.28805283) × cos(-0.83143357) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673817190681718 × 6371000     		du = 205.801114088788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83140127)-sin(-0.83143357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673841056738662-0.673817190681718)×R²
    abs(-0.28805283--0.28810077)×2.38660569436e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38660569436e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38660569436e-05×40589641000000     		ar = 42351.1824134266m²