Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59526 / 81778
↖ ↑ ↗
← S 40.684804°
W 16.506958°		 ← 231.61 m → S 40.684804°
W 16.504211°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
S 40.686886°
W 16.506958°		 ← 231.60 m →
53 636 m²		 S 40.686886°
W 16.504211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454151153564453 y=0.623920440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454151153564453 × 217)
    floor (0.454151153564453 × 131072)
    floor (59526.5)     		tx = 59526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623920440673828 × 217)
    floor (0.623920440673828 × 131072)
    floor (81778.5)     		ty = 81778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59526 / 81778 ti = "17/59526/81778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59526/81778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59526 ÷ 217
    59526 ÷ 131072     		x = 0.454147338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81778 ÷ 217
    81778 ÷ 131072     		y = 0.623916625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454147338867188 × 2 - 1) × π
    -0.091705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28810077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623916625976562 × 2 - 1) × π
    -0.247833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.778591123628952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28810077} λ = -0.28810077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778591123628952))-π/2
    2×atan(0.459052303869155)-π/2
    2×0.43035627369478-π/2
    0.86071254738956-1.57079632675     		φ = -0.71008378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28810077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.506958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71008378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.684804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59526 KachelY 81778 -0.28810077 -0.71008378 -16.506958 -40.684804
    Oben rechts KachelX + 1 59527 KachelY 81778 -0.28805283 -0.71008378 -16.504211 -40.684804
    Unten links KachelX 59526 KachelY + 1 81779 -0.28810077 -0.71012013 -16.506958 -40.686886
    Unten rechts KachelX + 1 59527 KachelY + 1 81779 -0.28805283 -0.71012013 -16.504211 -40.686886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71008378--0.71012013) × R
    3.63499999999073e-05 × 6371000     		dl = 231.585849999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71008378--0.71012013) × R
    3.63499999999073e-05 × 6371000     		dr = 231.585849999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28810077--0.28805283) × cos(-0.71008378) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758307262695731 × 6371000     		do = 231.606556856334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28810077--0.28805283) × cos(-0.71012013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758283565727741 × 6371000     		du = 231.59931919235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71008378)-sin(-0.71012013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758307262695731-0.758283565727741)×R²
    abs(-0.28805283--0.28810077)×2.36969679899834e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36969679899834e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36969679899834e-05×40589641000000     		ar = 53635.9632705185m²