Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59525 / 85306
↖ ↑ ↗
← S 47.624678°
W 16.509704°		 ← 205.81 m → S 47.624678°
W 16.506958°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
S 47.626529°
W 16.509704°		 ← 205.80 m →
42 364 m²		 S 47.626529°
W 16.506958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454143524169922 y=0.650836944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454143524169922 × 217)
    floor (0.454143524169922 × 131072)
    floor (59525.5)     		tx = 59525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650836944580078 × 217)
    floor (0.650836944580078 × 131072)
    floor (85306.5)     		ty = 85306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59525 / 85306 ti = "17/59525/85306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59525/85306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59525 ÷ 217
    59525 ÷ 131072     		x = 0.454139709472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85306 ÷ 217
    85306 ÷ 131072     		y = 0.650833129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454139709472656 × 2 - 1) × π
    -0.0917205810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28814870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650833129882812 × 2 - 1) × π
    -0.301666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.94771250548851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28814870} λ = -0.28814870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94771250548851))-π/2
    2×atan(0.387626704031548)-π/2
    2×0.36979444654346-π/2
    0.73958889308692-1.57079632675     		φ = -0.83120743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28814870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.509704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83120743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.624678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59525 KachelY 85306 -0.28814870 -0.83120743 -16.509704 -47.624678
    Oben rechts KachelX + 1 59526 KachelY 85306 -0.28810077 -0.83120743 -16.506958 -47.624678
    Unten links KachelX 59525 KachelY + 1 85307 -0.28814870 -0.83123974 -16.509704 -47.626529
    Unten rechts KachelX + 1 59526 KachelY + 1 85307 -0.28810077 -0.83123974 -16.506958 -47.626529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83120743--0.83123974) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dl = 205.847010000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83120743--0.83123974) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dr = 205.847010000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28814870--0.28810077) × cos(-0.83120743) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.673984267866036 × 6371000     		do = 205.809204223524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28814870--0.28810077) × cos(-0.83123974) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.673960398640732 × 6371000     		du = 205.801915468431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83120743)-sin(-0.83123974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673984267866036-0.673960398640732)×R²
    abs(-0.28810077--0.28814870)×2.38692253042849e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38692253042849e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38692253042849e-05×40589641000000     		ar = 42364.4591393885m²