Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59523 / 81787
↖ ↑ ↗
← S 40.703546°
W 16.515198°		 ← 231.54 m → S 40.703546°
W 16.512451°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
S 40.705628°
W 16.515198°		 ← 231.53 m →
53 606 m²		 S 40.705628°
W 16.512451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454128265380859 y=0.623989105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454128265380859 × 217)
    floor (0.454128265380859 × 131072)
    floor (59523.5)     		tx = 59523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623989105224609 × 217)
    floor (0.623989105224609 × 131072)
    floor (81787.5)     		ty = 81787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59523 / 81787 ti = "17/59523/81787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59523/81787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59523 ÷ 217
    59523 ÷ 131072     		x = 0.454124450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81787 ÷ 217
    81787 ÷ 131072     		y = 0.623985290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454124450683594 × 2 - 1) × π
    -0.0917510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28824458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623985290527344 × 2 - 1) × π
    -0.247970581054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.779022555725533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28824458} λ = -0.28824458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779022555725533))-π/2
    2×atan(0.458854296687655)-π/2
    2×0.430192717652614-π/2
    0.860385435305228-1.57079632675     		φ = -0.71041089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28824458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.515198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71041089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.703546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59523 KachelY 81787 -0.28824458 -0.71041089 -16.515198 -40.703546
    Oben rechts KachelX + 1 59524 KachelY 81787 -0.28819664 -0.71041089 -16.512451 -40.703546
    Unten links KachelX 59523 KachelY + 1 81788 -0.28824458 -0.71044723 -16.515198 -40.705628
    Unten rechts KachelX + 1 59524 KachelY + 1 81788 -0.28819664 -0.71044723 -16.512451 -40.705628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71041089--0.71044723) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dl = 231.522139999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71041089--0.71044723) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dr = 231.522139999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28824458--0.28819664) × cos(-0.71041089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758093980002528 × 6371000     		do = 231.541414831666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28824458--0.28819664) × cos(-0.71044723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758070280541062 × 6371000     		du = 231.53417640611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71041089)-sin(-0.71044723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758093980002528-0.758070280541062)×R²
    abs(-0.28819664--0.28824458)×2.36994614659647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36994614659647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36994614659647e-05×40589641000000     		ar = 53606.1259384016m²