Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59521 / 27262
↖ ↑ ↗
← N 71.857940°
W 16.520691°		 ← 95.10 m → N 71.857940°
W 16.517944°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
N 71.857084°
W 16.520691°		 ← 95.11 m →
9 046 m²		 N 71.857084°
W 16.517944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454113006591797 y=0.207996368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454113006591797 × 217)
    floor (0.454113006591797 × 131072)
    floor (59521.5)     		tx = 59521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207996368408203 × 217)
    floor (0.207996368408203 × 131072)
    floor (27262.5)     		ty = 27262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59521 / 27262 ti = "17/59521/27262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59521/27262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59521 ÷ 217
    59521 ÷ 131072     		x = 0.454109191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27262 ÷ 217
    27262 ÷ 131072     		y = 0.207992553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454109191894531 × 2 - 1) × π
    -0.0917816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28834045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207992553710938 × 2 - 1) × π
    0.584014892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83473689605803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28834045} λ = -0.28834045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83473689605803))-π/2
    2×atan(6.26348598077389)-π/2
    2×1.4124769814065-π/2
    2.82495396281299-1.57079632675     		φ = 1.25415764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28834045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.520691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25415764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.857940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59521 KachelY 27262 -0.28834045 1.25415764 -16.520691 71.857940
    Oben rechts KachelX + 1 59522 KachelY 27262 -0.28829251 1.25415764 -16.517944 71.857940
    Unten links KachelX 59521 KachelY + 1 27263 -0.28834045 1.25414271 -16.520691 71.857084
    Unten rechts KachelX + 1 59522 KachelY + 1 27263 -0.28829251 1.25414271 -16.517944 71.857084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25415764-1.25414271) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dl = 95.1190300005071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25415764-1.25414271) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dr = 95.1190300005071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28834045--0.28829251) × cos(1.25415764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311374112026931 × 6371000     		do = 95.1016685827162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28834045--0.28829251) × cos(1.25414271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311388299783265 × 6371000     		du = 95.1060018886932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25415764)-sin(1.25414271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311374112026931-0.311388299783265)×R²
    abs(-0.28829251--0.28834045)×1.41877563333836e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.41877563333836e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.41877563333836e-05×40589641000000     		ar = 9046.18455713176m²