Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59520 / 27263
↖ ↑ ↗
← N 71.857084°
W 16.523438°		 ← 95.11 m → N 71.857084°
W 16.520691°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
N 71.856229°
W 16.523438°		 ← 95.11 m →
9 047 m²		 N 71.856229°
W 16.520691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454105377197266 y=0.208003997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454105377197266 × 217)
    floor (0.454105377197266 × 131072)
    floor (59520.5)     		tx = 59520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208003997802734 × 217)
    floor (0.208003997802734 × 131072)
    floor (27263.5)     		ty = 27263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59520 / 27263 ti = "17/59520/27263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59520/27263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59520 ÷ 217
    59520 ÷ 131072     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27263 ÷ 217
    27263 ÷ 131072     		y = 0.208000183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208000183105469 × 2 - 1) × π
    0.583999633789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.83468895915841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83468895915841))-π/2
    2×atan(6.26318573587162)-π/2
    2×1.41246951808164-π/2
    2.82493903616328-1.57079632675     		φ = 1.25414271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25414271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.857084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59520 KachelY 27263 -0.28838839 1.25414271 -16.523438 71.857084
    Oben rechts KachelX + 1 59521 KachelY 27263 -0.28834045 1.25414271 -16.520691 71.857084
    Unten links KachelX 59520 KachelY + 1 27264 -0.28838839 1.25412778 -16.523438 71.856229
    Unten rechts KachelX + 1 59521 KachelY + 1 27264 -0.28834045 1.25412778 -16.520691 71.856229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25414271-1.25412778) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dl = 95.1190300005071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25414271-1.25412778) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dr = 95.1190300005071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28834045) × cos(1.25414271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311388299783265 × 6371000     		do = 95.1060018885831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28834045) × cos(1.25412778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311402487470188 × 6371000     		du = 95.1103351733606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25414271)-sin(1.25412778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311388299783265-0.311402487470188)×R²
    abs(-0.28834045--0.28838839)×1.41876869234059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41876869234059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41876869234059e-05×40589641000000     		ar = 9046.59673594821m²