Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59519 / 85145
↖ ↑ ↗
← S 47.325792°
W 16.526184°		 ← 207.03 m → S 47.325792°
W 16.523438°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
S 47.327654°
W 16.526184°		 ← 207.02 m →
42 852 m²		 S 47.327654°
W 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454097747802734 y=0.649608612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454097747802734 × 217)
    floor (0.454097747802734 × 131072)
    floor (59519.5)     		tx = 59519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649608612060547 × 217)
    floor (0.649608612060547 × 131072)
    floor (85145.5)     		ty = 85145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59519 / 85145 ti = "17/59519/85145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59519/85145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59519 ÷ 217
    59519 ÷ 131072     		x = 0.454093933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85145 ÷ 217
    85145 ÷ 131072     		y = 0.649604797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454093933105469 × 2 - 1) × π
    -0.0918121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28843633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649604797363281 × 2 - 1) × π
    -0.299209594726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.939994664649681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28843633} λ = -0.28843633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939994664649681))-π/2
    2×atan(0.390629919500427)-π/2
    2×0.372402714891148-π/2
    0.744805429782296-1.57079632675     		φ = -0.82599090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28843633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.526184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82599090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.325792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59519 KachelY 85145 -0.28843633 -0.82599090 -16.526184 -47.325792
    Oben rechts KachelX + 1 59520 KachelY 85145 -0.28838839 -0.82599090 -16.523438 -47.325792
    Unten links KachelX 59519 KachelY + 1 85146 -0.28843633 -0.82602339 -16.526184 -47.327654
    Unten rechts KachelX + 1 59520 KachelY + 1 85146 -0.28838839 -0.82602339 -16.523438 -47.327654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82599090--0.82602339) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dl = 206.993790000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82599090--0.82602339) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dr = 206.993790000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28843633--0.28838839) × cos(-0.82599090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677828769213842 × 6371000     		do = 207.026353430531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28843633--0.28838839) × cos(-0.82602339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677804881564668 × 6371000     		du = 207.019057527605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82599090)-sin(-0.82602339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677828769213842-0.677804881564668)×R²
    abs(-0.28838839--0.28843633)×2.38876491732709e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38876491732709e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38876491732709e-05×40589641000000     		ar = 42852.4144270314m²