Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59518 / 85147
↖ ↑ ↗
← S 47.329516°
W 16.528931°		 ← 206.97 m → S 47.329516°
W 16.526184°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
S 47.331377°
W 16.528931°		 ← 206.96 m →
42 840 m²		 S 47.331377°
W 16.526184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454090118408203 y=0.649623870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454090118408203 × 217)
    floor (0.454090118408203 × 131072)
    floor (59518.5)     		tx = 59518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649623870849609 × 217)
    floor (0.649623870849609 × 131072)
    floor (85147.5)     		ty = 85147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59518 / 85147 ti = "17/59518/85147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59518/85147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59518 ÷ 217
    59518 ÷ 131072     		x = 0.454086303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85147 ÷ 217
    85147 ÷ 131072     		y = 0.649620056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454086303710938 × 2 - 1) × π
    -0.091827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28848426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649620056152344 × 2 - 1) × π
    -0.299240112304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.940090538448921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28848426} λ = -0.28848426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940090538448921))-π/2
    2×atan(0.390592470121183)-π/2
    2×0.372370223026558-π/2
    0.744740446053116-1.57079632675     		φ = -0.82605588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28848426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.528931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82605588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.329516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59518 KachelY 85147 -0.28848426 -0.82605588 -16.528931 -47.329516
    Oben rechts KachelX + 1 59519 KachelY 85147 -0.28843633 -0.82605588 -16.526184 -47.329516
    Unten links KachelX 59518 KachelY + 1 85148 -0.28848426 -0.82608837 -16.528931 -47.331377
    Unten rechts KachelX + 1 59519 KachelY + 1 85148 -0.28843633 -0.82608837 -16.526184 -47.331377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82605588--0.82608837) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dl = 206.993790000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82605588--0.82608837) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dr = 206.993790000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28848426--0.28843633) × cos(-0.82605588) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677780993200004 × 6371000     		do = 206.968579978856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28848426--0.28843633) × cos(-0.82608837) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677757104119874 × 6371000     		du = 206.961285160853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82605588)-sin(-0.82608837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677780993200004-0.677757104119874)×R²
    abs(-0.28843633--0.28848426)×2.38890801299574e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38890801299574e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38890801299574e-05×40589641000000     		ar = 42840.4557937179m²