Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59518 / 81814
↖ ↑ ↗
← S 40.759741°
W 16.528931°		 ← 231.30 m → S 40.759741°
W 16.526184°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.761821°
W 16.528931°		 ← 231.29 m →
53 491 m²		 S 40.761821°
W 16.526184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454090118408203 y=0.624195098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454090118408203 × 217)
    floor (0.454090118408203 × 131072)
    floor (59518.5)     		tx = 59518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624195098876953 × 217)
    floor (0.624195098876953 × 131072)
    floor (81814.5)     		ty = 81814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59518 / 81814 ti = "17/59518/81814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59518/81814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59518 ÷ 217
    59518 ÷ 131072     		x = 0.454086303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81814 ÷ 217
    81814 ÷ 131072     		y = 0.624191284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454086303710938 × 2 - 1) × π
    -0.091827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28848426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624191284179688 × 2 - 1) × π
    -0.248382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.780316852015274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28848426} λ = -0.28848426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780316852015274))-π/2
    2×atan(0.458260787445179)-π/2
    2×0.429702325610659-π/2
    0.859404651221317-1.57079632675     		φ = -0.71139168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28848426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.528931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71139168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.759741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59518 KachelY 81814 -0.28848426 -0.71139168 -16.528931 -40.759741
    Oben rechts KachelX + 1 59519 KachelY 81814 -0.28843633 -0.71139168 -16.526184 -40.759741
    Unten links KachelX 59518 KachelY + 1 81815 -0.28848426 -0.71142798 -16.528931 -40.761821
    Unten rechts KachelX + 1 59519 KachelY + 1 81815 -0.28843633 -0.71142798 -16.526184 -40.761821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71139168--0.71142798) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71139168--0.71142798) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28848426--0.28843633) × cos(-0.71139168) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.757453997873506 × 6371000     		do = 231.297690422143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28848426--0.28843633) × cos(-0.71142798) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.757430297520591 × 6371000     		du = 231.290453234265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71139168)-sin(-0.71142798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757453997873506-0.757430297520591)×R²
    abs(-0.28843633--0.28848426)×2.37003529148794e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37003529148794e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37003529148794e-05×40589641000000     		ar = 53490.7555034732m²