Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59517 / 82609
↖ ↑ ↗
← S 42.393037°
W 16.531677°		 ← 225.57 m → S 42.393037°
W 16.528931°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
S 42.395066°
W 16.531677°		 ← 225.56 m →
50 872 m²		 S 42.395066°
W 16.528931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454082489013672 y=0.630260467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454082489013672 × 217)
    floor (0.454082489013672 × 131072)
    floor (59517.5)     		tx = 59517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630260467529297 × 217)
    floor (0.630260467529297 × 131072)
    floor (82609.5)     		ty = 82609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59517 / 82609 ti = "17/59517/82609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59517/82609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59517 ÷ 217
    59517 ÷ 131072     		x = 0.454078674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82609 ÷ 217
    82609 ÷ 131072     		y = 0.630256652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454078674316406 × 2 - 1) × π
    -0.0918426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28853220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630256652832031 × 2 - 1) × π
    -0.260513305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.818426687213219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28853220} λ = -0.28853220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818426687213219))-π/2
    2×atan(0.441125136648849)-π/2
    2×0.415449124790354-π/2
    0.830898249580707-1.57079632675     		φ = -0.73989808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28853220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.531677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73989808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.393037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59517 KachelY 82609 -0.28853220 -0.73989808 -16.531677 -42.393037
    Oben rechts KachelX + 1 59518 KachelY 82609 -0.28848426 -0.73989808 -16.528931 -42.393037
    Unten links KachelX 59517 KachelY + 1 82610 -0.28853220 -0.73993348 -16.531677 -42.395066
    Unten rechts KachelX + 1 59518 KachelY + 1 82610 -0.28848426 -0.73993348 -16.528931 -42.395066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73989808--0.73993348) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dl = 225.533400000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73989808--0.73993348) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dr = 225.533400000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28853220--0.28848426) × cos(-0.73989808) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738537278317932 × 6371000     		do = 225.568294747954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28853220--0.28848426) × cos(-0.73993348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738513410727608 × 6371000     		du = 225.561004971517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73989808)-sin(-0.73993348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738537278317932-0.738513410727608)×R²
    abs(-0.28848426--0.28853220)×2.38675903244667e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38675903244667e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38675903244667e-05×40589641000000     		ar = 50872.3624078894m²