Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59516 / 84971
↖ ↑ ↗
← S 47.000861°
W 16.534424°		 ← 208.30 m → S 47.000861°
W 16.531677°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
S 47.002734°
W 16.534424°		 ← 208.29 m →
43 381 m²		 S 47.002734°
W 16.531677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454074859619141 y=0.648281097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454074859619141 × 217)
    floor (0.454074859619141 × 131072)
    floor (59516.5)     		tx = 59516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648281097412109 × 217)
    floor (0.648281097412109 × 131072)
    floor (84971.5)     		ty = 84971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59516 / 84971 ti = "17/59516/84971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59516/84971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59516 ÷ 217
    59516 ÷ 131072     		x = 0.454071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84971 ÷ 217
    84971 ÷ 131072     		y = 0.648277282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.09185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28858014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648277282714844 × 2 - 1) × π
    -0.296554565429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.931653644115791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28858014} λ = -0.28858014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931653644115791))-π/2
    2×atan(0.393901798114072)-π/2
    2×0.375238277244927-π/2
    0.750476554489854-1.57079632675     		φ = -0.82031977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28858014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.534424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82031977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.000861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59516 KachelY 84971 -0.28858014 -0.82031977 -16.534424 -47.000861
    Oben rechts KachelX + 1 59517 KachelY 84971 -0.28853220 -0.82031977 -16.531677 -47.000861
    Unten links KachelX 59516 KachelY + 1 84972 -0.28858014 -0.82035246 -16.534424 -47.002734
    Unten rechts KachelX + 1 59517 KachelY + 1 84972 -0.28853220 -0.82035246 -16.531677 -47.002734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82031977--0.82035246) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dl = 208.267989999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82031977--0.82035246) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dr = 208.267989999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28858014--0.28853220) × cos(-0.82031977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681987373910094 × 6371000     		do = 208.296498347011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28858014--0.28853220) × cos(-0.82035246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681963465258298 × 6371000     		du = 208.289196029343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82031977)-sin(-0.82035246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681987373910094-0.681963465258298)×R²
    abs(-0.28853220--0.28858014)×2.39086517956899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39086517956899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39086517956899e-05×40589641000000     		ar = 43380.7326191938m²