Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59516 / 59708
↖ ↑ ↗
← S 81.357986°
E146.931152°		 ← 91.79 m → S 81.357986°
E146.936646°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 81.358812°
E146.931152°		 ← 91.78 m →
8 426 m²		 S 81.358812°
E146.936646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908149719238281 y=0.911079406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908149719238281 × 216)
    floor (0.908149719238281 × 65536)
    floor (59516.5)     		tx = 59516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911079406738281 × 216)
    floor (0.911079406738281 × 65536)
    floor (59708.5)     		ty = 59708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59516 / 59708 ti = "16/59516/59708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59516/59708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59516 ÷ 216
    59516 ÷ 65536     		x = 0.90814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59708 ÷ 216
    59708 ÷ 65536     		y = 0.91107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90814208984375 × 2 - 1) × π
    0.8162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56443238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.8221435546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58284015152863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56443238} λ = 2.56443238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58284015152863))-π/2
    2×atan(0.0755590996943782)-π/2
    2×0.0754157968214719-π/2
    0.150831593642944-1.57079632675     		φ = -1.41996473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56443238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41996473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.357986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59516 KachelY 59708 2.56443238 -1.41996473 146.931152 -81.357986
    Oben rechts KachelX + 1 59517 KachelY 59708 2.56452826 -1.41996473 146.936646 -81.357986
    Unten links KachelX 59516 KachelY + 1 59709 2.56443238 -1.41997914 146.931152 -81.358812
    Unten rechts KachelX + 1 59517 KachelY + 1 59709 2.56452826 -1.41997914 146.936646 -81.358812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41996473--1.41997914) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41996473--1.41997914) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56443238-2.56452826) × cos(-1.41996473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150260339565916 × 6371000     		do = 91.7867508090822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56443238-2.56452826) × cos(-1.41997914) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150246093154773 × 6371000     		du = 91.7780483677507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41996473)-sin(-1.41997914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150260339565916-0.150246093154773)×R²
    abs(2.56452826-2.56443238)×1.42464111431984e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42464111431984e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42464111431984e-05×40589641000000     		ar = 8426.18507272987m²