Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59516 / 35813
↖ ↑ ↗
← N 62.948978°
W 16.534424°		 ← 138.90 m → N 62.948978°
W 16.531677°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
N 62.947729°
W 16.534424°		 ← 138.91 m →
19 292 m²		 N 62.947729°
W 16.531677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454074859619141 y=0.273235321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454074859619141 × 217)
    floor (0.454074859619141 × 131072)
    floor (59516.5)     		tx = 59516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273235321044922 × 217)
    floor (0.273235321044922 × 131072)
    floor (35813.5)     		ty = 35813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59516 / 35813 ti = "17/59516/35813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59516/35813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59516 ÷ 217
    59516 ÷ 131072     		x = 0.454071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35813 ÷ 217
    35813 ÷ 131072     		y = 0.273231506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454071044921875 × 2 - 1) × π
    -0.09185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28858014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273231506347656 × 2 - 1) × π
    0.453536987304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.42482846740693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28858014} λ = -0.28858014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42482846740693))-π/2
    2×atan(4.15714469578434)-π/2
    2×1.33473162862917-π/2
    2.66946325725833-1.57079632675     		φ = 1.09866693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28858014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.534424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09866693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.948978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59516 KachelY 35813 -0.28858014 1.09866693 -16.534424 62.948978
    Oben rechts KachelX + 1 59517 KachelY 35813 -0.28853220 1.09866693 -16.531677 62.948978
    Unten links KachelX 59516 KachelY + 1 35814 -0.28858014 1.09864513 -16.534424 62.947729
    Unten rechts KachelX + 1 59517 KachelY + 1 35814 -0.28853220 1.09864513 -16.531677 62.947729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09866693-1.09864513) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09866693-1.09864513) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28858014--0.28853220) × cos(1.09866693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454783759831935 × 6371000     		do = 138.90266638656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28858014--0.28853220) × cos(1.09864513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454803174845135 × 6371000     		du = 138.908596231334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09866693)-sin(1.09864513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454783759831935-0.454803174845135)×R²
    abs(-0.28853220--0.28858014)×1.94150131999082e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94150131999082e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94150131999082e-05×40589641000000     		ar = 19292.2975408484m²