Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59515 / 84891
↖ ↑ ↗
← S 46.850800°
W 16.537170°		 ← 208.84 m → S 46.850800°
W 16.534424°		 →
↑
208.84 m
↓
↑
208.84 m
↓
S 46.852678°
W 16.537170°		 ← 208.83 m →
43 613 m²		 S 46.852678°
W 16.534424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454067230224609 y=0.647670745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454067230224609 × 217)
    floor (0.454067230224609 × 131072)
    floor (59515.5)     		tx = 59515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647670745849609 × 217)
    floor (0.647670745849609 × 131072)
    floor (84891.5)     		ty = 84891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59515 / 84891 ti = "17/59515/84891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59515/84891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59515 ÷ 217
    59515 ÷ 131072     		x = 0.454063415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84891 ÷ 217
    84891 ÷ 131072     		y = 0.647666931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454063415527344 × 2 - 1) × π
    -0.0918731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28862807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647666931152344 × 2 - 1) × π
    -0.295333862304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.927818692146187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28862807} λ = -0.28862807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927818692146187))-π/2
    2×atan(0.395415292825448)-π/2
    2×0.37654780574784-π/2
    0.75309561149568-1.57079632675     		φ = -0.81770072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28862807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.537170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81770072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.850800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59515 KachelY 84891 -0.28862807 -0.81770072 -16.537170 -46.850800
    Oben rechts KachelX + 1 59516 KachelY 84891 -0.28858014 -0.81770072 -16.534424 -46.850800
    Unten links KachelX 59515 KachelY + 1 84892 -0.28862807 -0.81773350 -16.537170 -46.852678
    Unten rechts KachelX + 1 59516 KachelY + 1 84892 -0.28858014 -0.81773350 -16.534424 -46.852678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81770072--0.81773350) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dl = 208.84137999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81770072--0.81773350) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dr = 208.84137999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28862807--0.28858014) × cos(-0.81770072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.683900511445021 × 6371000     		do = 208.837248493018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28862807--0.28858014) × cos(-0.81773350) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.683876595599884 × 6371000     		du = 208.829945501997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81770072)-sin(-0.81773350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683900511445021-0.683876595599884)×R²
    abs(-0.28858014--0.28862807)×2.3915845137612e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3915845137612e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3915845137612e-05×40589641000000     		ar = 43613.0965910114m²