Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59515 / 81816
↖ ↑ ↗
← S 40.763901°
W 16.537170°		 ← 231.28 m → S 40.763901°
W 16.534424°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
S 40.765982°
W 16.537170°		 ← 231.28 m →
53 502 m²		 S 40.765982°
W 16.534424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454067230224609 y=0.624210357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454067230224609 × 217)
    floor (0.454067230224609 × 131072)
    floor (59515.5)     		tx = 59515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624210357666016 × 217)
    floor (0.624210357666016 × 131072)
    floor (81816.5)     		ty = 81816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59515 / 81816 ti = "17/59515/81816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59515/81816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59515 ÷ 217
    59515 ÷ 131072     		x = 0.454063415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81816 ÷ 217
    81816 ÷ 131072     		y = 0.62420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454063415527344 × 2 - 1) × π
    -0.0918731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28862807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.2484130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.780412725814514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28862807} λ = -0.28862807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780412725814514))-π/2
    2×atan(0.458216854348494)-π/2
    2×0.429666016750676-π/2
    0.859332033501352-1.57079632675     		φ = -0.71146429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28862807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.537170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71146429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.763901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59515 KachelY 81816 -0.28862807 -0.71146429 -16.537170 -40.763901
    Oben rechts KachelX + 1 59516 KachelY 81816 -0.28858014 -0.71146429 -16.534424 -40.763901
    Unten links KachelX 59515 KachelY + 1 81817 -0.28862807 -0.71150060 -16.537170 -40.765982
    Unten rechts KachelX + 1 59516 KachelY + 1 81817 -0.28858014 -0.71150060 -16.534424 -40.765982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71146429--0.71150060) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71146429--0.71150060) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28862807--0.28858014) × cos(-0.71146429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757406589640183 × 6371000     		do = 231.283213748045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28862807--0.28858014) × cos(-0.71150060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.757382880761197 × 6371000     		du = 231.275973956629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71146429)-sin(-0.71150060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757406589640183-0.757382880761197)×R²
    abs(-0.28858014--0.28862807)×2.37088789855067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37088789855067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37088789855067e-05×40589641000000     		ar = 53502.1420442389m²