Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59514 / 82599
↖ ↑ ↗
← S 42.372749°
W 16.539917°		 ← 225.64 m → S 42.372749°
W 16.537170°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
S 42.374778°
W 16.539917°		 ← 225.63 m →
50 903 m²		 S 42.374778°
W 16.537170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454059600830078 y=0.630184173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454059600830078 × 217)
    floor (0.454059600830078 × 131072)
    floor (59514.5)     		tx = 59514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630184173583984 × 217)
    floor (0.630184173583984 × 131072)
    floor (82599.5)     		ty = 82599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59514 / 82599 ti = "17/59514/82599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59514/82599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59514 ÷ 217
    59514 ÷ 131072     		x = 0.454055786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82599 ÷ 217
    82599 ÷ 131072     		y = 0.630180358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454055786132812 × 2 - 1) × π
    -0.091888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28867601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630180358886719 × 2 - 1) × π
    -0.260360717773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.817947318217018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28867601} λ = -0.28867601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817947318217018))-π/2
    2×atan(0.441336649054998)-π/2
    2×0.415626169332546-π/2
    0.831252338665093-1.57079632675     		φ = -0.73954399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28867601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.539917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73954399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.372749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59514 KachelY 82599 -0.28867601 -0.73954399 -16.539917 -42.372749
    Oben rechts KachelX + 1 59515 KachelY 82599 -0.28862807 -0.73954399 -16.537170 -42.372749
    Unten links KachelX 59514 KachelY + 1 82600 -0.28867601 -0.73957940 -16.539917 -42.374778
    Unten rechts KachelX + 1 59515 KachelY + 1 82600 -0.28862807 -0.73957940 -16.537170 -42.374778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73954399--0.73957940) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dl = 225.597109999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73954399--0.73957940) × R
    3.5409999999958e-05 × 6371000     		dr = 225.597109999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28867601--0.28862807) × cos(-0.73954399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738775963969048 × 6371000     		do = 225.641195489312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28867601--0.28862807) × cos(-0.73957940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738752098897704 × 6371000     		du = 225.633906482236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73954399)-sin(-0.73957940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738775963969048-0.738752098897704)×R²
    abs(-0.28862807--0.28867601)×2.3865071343665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3865071343665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3865071343665e-05×40589641000000     		ar = 50903.1794150226m²