Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59513 / 35807
↖ ↑ ↗
← N 62.956472°
W 16.542664°		 ← 138.87 m → N 62.956472°
W 16.539917°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
N 62.955223°
W 16.542664°		 ← 138.87 m →
19 287 m²		 N 62.955223°
W 16.539917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454051971435547 y=0.273189544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454051971435547 × 217)
    floor (0.454051971435547 × 131072)
    floor (59513.5)     		tx = 59513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273189544677734 × 217)
    floor (0.273189544677734 × 131072)
    floor (35807.5)     		ty = 35807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59513 / 35807 ti = "17/59513/35807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59513/35807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59513 ÷ 217
    59513 ÷ 131072     		x = 0.454048156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35807 ÷ 217
    35807 ÷ 131072     		y = 0.273185729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454048156738281 × 2 - 1) × π
    -0.0919036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28872395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273185729980469 × 2 - 1) × π
    0.453628540039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.42511608880465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28872395} λ = -0.28872395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42511608880465))-π/2
    2×atan(4.15834055152088)-π/2
    2×1.33479702302331-π/2
    2.66959404604661-1.57079632675     		φ = 1.09879772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28872395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.542664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09879772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.956472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59513 KachelY 35807 -0.28872395 1.09879772 -16.542664 62.956472
    Oben rechts KachelX + 1 59514 KachelY 35807 -0.28867601 1.09879772 -16.539917 62.956472
    Unten links KachelX 59513 KachelY + 1 35808 -0.28872395 1.09877592 -16.542664 62.955223
    Unten rechts KachelX + 1 59514 KachelY + 1 35808 -0.28867601 1.09877592 -16.539917 62.955223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09879772-1.09877592) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09879772-1.09877592) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28872395--0.28867601) × cos(1.09879772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454667274120913 × 6371000     		do = 138.867088652232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28872395--0.28867601) × cos(1.09877592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454686690430664 × 6371000     		du = 138.873018893006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09879772)-sin(1.09877592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454667274120913-0.454686690430664)×R²
    abs(-0.28867601--0.28872395)×1.9416309750997e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9416309750997e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9416309750997e-05×40589641000000     		ar = 19287.3562552959m²