Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59512 / 82569
↖ ↑ ↗
← S 42.311846°
W 16.545410°		 ← 225.81 m → S 42.311846°
W 16.542664°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.313877°
W 16.545410°		 ← 225.81 m →
50 999 m²		 S 42.313877°
W 16.542664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454044342041016 y=0.629955291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454044342041016 × 217)
    floor (0.454044342041016 × 131072)
    floor (59512.5)     		tx = 59512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629955291748047 × 217)
    floor (0.629955291748047 × 131072)
    floor (82569.5)     		ty = 82569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59512 / 82569 ti = "17/59512/82569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59512/82569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59512 ÷ 217
    59512 ÷ 131072     		x = 0.45404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82569 ÷ 217
    82569 ÷ 131072     		y = 0.629951477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.0919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28877188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629951477050781 × 2 - 1) × π
    -0.259902954101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.816509211228416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28877188} λ = -0.28877188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816509211228416))-π/2
    2×atan(0.441971794968754)-π/2
    2×0.416157646187579-π/2
    0.832315292375158-1.57079632675     		φ = -0.73848103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28877188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.545410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73848103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.311846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59512 KachelY 82569 -0.28877188 -0.73848103 -16.545410 -42.311846
    Oben rechts KachelX + 1 59513 KachelY 82569 -0.28872395 -0.73848103 -16.542664 -42.311846
    Unten links KachelX 59512 KachelY + 1 82570 -0.28877188 -0.73851648 -16.545410 -42.313877
    Unten rechts KachelX + 1 59513 KachelY + 1 82570 -0.28872395 -0.73851648 -16.542664 -42.313877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73848103--0.73851648) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dl = 225.851950000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73848103--0.73851648) × R
    3.54500000000479e-05 × 6371000     		dr = 225.851950000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28877188--0.28872395) × cos(-0.73848103) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739491929521893 × 6371000     		do = 225.812756767299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28877188--0.28872395) × cos(-0.73851648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739468065343007 × 6371000     		du = 225.80546955319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73848103)-sin(-0.73851648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739491929521893-0.739468065343007)×R²
    abs(-0.28872395--0.28877188)×2.38641788865568e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38641788865568e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38641788865568e-05×40589641000000     		ar = 50999.4285404707m²