Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59512 / 35832
↖ ↑ ↗
← N 62.925235°
W 16.545410°		 ← 138.99 m → N 62.925235°
W 16.542664°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.923986°
W 16.545410°		 ← 138.99 m →
19 313 m²		 N 62.923986°
W 16.542664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454044342041016 y=0.273380279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454044342041016 × 217)
    floor (0.454044342041016 × 131072)
    floor (59512.5)     		tx = 59512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273380279541016 × 217)
    floor (0.273380279541016 × 131072)
    floor (35832.5)     		ty = 35832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59512 / 35832 ti = "17/59512/35832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59512/35832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59512 ÷ 217
    59512 ÷ 131072     		x = 0.45404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35832 ÷ 217
    35832 ÷ 131072     		y = 0.27337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.0919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28877188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27337646484375 × 2 - 1) × π
    0.4532470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42391766631415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28877188} λ = -0.28877188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42391766631415))-π/2
    2×atan(4.15336008762683)-π/2
    2×1.33452443584055-π/2
    2.6690488716811-1.57079632675     		φ = 1.09825254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28877188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.545410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09825254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.925235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59512 KachelY 35832 -0.28877188 1.09825254 -16.545410 62.925235
    Oben rechts KachelX + 1 59513 KachelY 35832 -0.28872395 1.09825254 -16.542664 62.925235
    Unten links KachelX 59512 KachelY + 1 35833 -0.28877188 1.09823073 -16.545410 62.923986
    Unten rechts KachelX + 1 59513 KachelY + 1 35833 -0.28872395 1.09823073 -16.542664 62.923986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09825254-1.09823073) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09825254-1.09823073) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28877188--0.28872395) × cos(1.09825254) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.455152777292286 × 6371000     		do = 138.986376034034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28877188--0.28872395) × cos(1.09823073) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.455172197099385 × 6371000     		du = 138.992306105752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09825254)-sin(1.09823073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455152777292286-0.455172197099385)×R²
    abs(-0.28872395--0.28877188)×1.94198070986862e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94198070986862e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94198070986862e-05×40589641000000     		ar = 19312.7788164083m²