Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59511 / 84900
↖ ↑ ↗
← S 46.867703°
W 16.548157°		 ← 208.82 m → S 46.867703°
W 16.545410°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
S 46.869581°
W 16.548157°		 ← 208.81 m →
43 595 m²		 S 46.869581°
W 16.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454036712646484 y=0.647739410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454036712646484 × 217)
    floor (0.454036712646484 × 131072)
    floor (59511.5)     		tx = 59511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647739410400391 × 217)
    floor (0.647739410400391 × 131072)
    floor (84900.5)     		ty = 84900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59511 / 84900 ti = "17/59511/84900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59511/84900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59511 ÷ 217
    59511 ÷ 131072     		x = 0.454032897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84900 ÷ 217
    84900 ÷ 131072     		y = 0.647735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454032897949219 × 2 - 1) × π
    -0.0919342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28881982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.29547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.928250124242767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28881982} λ = -0.28881982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928250124242767))-π/2
    2×atan(0.395244734771399)-π/2
    2×0.376400300649219-π/2
    0.752800601298439-1.57079632675     		φ = -0.81799573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28881982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.548157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81799573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.867703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59511 KachelY 84900 -0.28881982 -0.81799573 -16.548157 -46.867703
    Oben rechts KachelX + 1 59512 KachelY 84900 -0.28877188 -0.81799573 -16.545410 -46.867703
    Unten links KachelX 59511 KachelY + 1 84901 -0.28881982 -0.81802850 -16.548157 -46.869581
    Unten rechts KachelX + 1 59512 KachelY + 1 84901 -0.28877188 -0.81802850 -16.545410 -46.869581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81799573--0.81802850) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81799573--0.81802850) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28881982--0.28877188) × cos(-0.81799573) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683685249684298 × 6371000     		do = 208.815073312016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28881982--0.28877188) × cos(-0.81802850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6836613345247 × 6371000     		du = 208.807769006699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81799573)-sin(-0.81802850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683685249684298-0.6836613345247)×R²
    abs(-0.28877188--0.28881982)×2.39151595975429e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39151595975429e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39151595975429e-05×40589641000000     		ar = 43595.1619829606m²