Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59510 / 84890
↖ ↑ ↗
← S 46.848921°
W 16.550903°		 ← 208.89 m → S 46.848921°
W 16.548157°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
S 46.850800°
W 16.550903°		 ← 208.88 m →
43 637 m²		 S 46.850800°
W 16.548157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454029083251953 y=0.647663116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454029083251953 × 217)
    floor (0.454029083251953 × 131072)
    floor (59510.5)     		tx = 59510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647663116455078 × 217)
    floor (0.647663116455078 × 131072)
    floor (84890.5)     		ty = 84890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59510 / 84890 ti = "17/59510/84890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59510/84890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59510 ÷ 217
    59510 ÷ 131072     		x = 0.454025268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84890 ÷ 217
    84890 ÷ 131072     		y = 0.647659301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454025268554688 × 2 - 1) × π
    -0.091949462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28886776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647659301757812 × 2 - 1) × π
    -0.295318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.927770755246567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28886776} λ = -0.28886776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927770755246567))-π/2
    2×atan(0.395434248262977)-π/2
    2×0.37656419806965-π/2
    0.7531283961393-1.57079632675     		φ = -0.81766793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28886776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.550903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81766793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.848921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59510 KachelY 84890 -0.28886776 -0.81766793 -16.550903 -46.848921
    Oben rechts KachelX + 1 59511 KachelY 84890 -0.28881982 -0.81766793 -16.548157 -46.848921
    Unten links KachelX 59510 KachelY + 1 84891 -0.28886776 -0.81770072 -16.550903 -46.850800
    Unten rechts KachelX + 1 59511 KachelY + 1 84891 -0.28881982 -0.81770072 -16.548157 -46.850800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81766793--0.81770072) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dl = 208.90509000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81766793--0.81770072) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dr = 208.90509000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28886776--0.28881982) × cos(-0.81766793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683924433850817 × 6371000     		do = 208.88812631283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28886776--0.28881982) × cos(-0.81770072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683900511445021 × 6371000     		du = 208.880819794337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81766793)-sin(-0.81770072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683924433850817-0.683900511445021)×R²
    abs(-0.28881982--0.28886776)×2.39224057956289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39224057956289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39224057956289e-05×40589641000000     		ar = 43637.029646929m²