Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59510 / 39238
↖ ↑ ↗
← N 58.346983°
W 16.550903°		 ← 160.28 m → N 58.346983°
W 16.548157°		 →
↑
160.29 m
↓
↑
160.29 m
↓
N 58.345542°
W 16.550903°		 ← 160.29 m →
25 692 m²		 N 58.345542°
W 16.548157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454029083251953 y=0.299365997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454029083251953 × 217)
    floor (0.454029083251953 × 131072)
    floor (59510.5)     		tx = 59510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299365997314453 × 217)
    floor (0.299365997314453 × 131072)
    floor (39238.5)     		ty = 39238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59510 / 39238 ti = "17/59510/39238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59510/39238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59510 ÷ 217
    59510 ÷ 131072     		x = 0.454025268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39238 ÷ 217
    39238 ÷ 131072     		y = 0.299362182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454025268554688 × 2 - 1) × π
    -0.091949462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28886776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299362182617188 × 2 - 1) × π
    0.401275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26064458620824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28886776} λ = -0.28886776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26064458620824))-π/2
    2×atan(3.52769465798287)-π/2
    2×1.29457164799366-π/2
    2.58914329598731-1.57079632675     		φ = 1.01834697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28886776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.550903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01834697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.346983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59510 KachelY 39238 -0.28886776 1.01834697 -16.550903 58.346983
    Oben rechts KachelX + 1 59511 KachelY 39238 -0.28881982 1.01834697 -16.548157 58.346983
    Unten links KachelX 59510 KachelY + 1 39239 -0.28886776 1.01832181 -16.550903 58.345542
    Unten rechts KachelX + 1 59511 KachelY + 1 39239 -0.28881982 1.01832181 -16.548157 58.345542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01834697-1.01832181) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dl = 160.294360000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01834697-1.01832181) × R
    2.51600000000796e-05 × 6371000     		dr = 160.294360000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28886776--0.28881982) × cos(1.01834697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.52477379568298 × 6371000     		do = 160.279424878978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28886776--0.28881982) × cos(1.01832181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.524795212758518 × 6371000     		du = 160.285966205123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01834697)-sin(1.01832181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52477379568298-0.524795212758518)×R²
    abs(-0.28881982--0.28886776)×2.14170755383769e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14170755383769e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14170755383769e-05×40589641000000     		ar = 25692.4121024634m²