Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59509 / 84912
↖ ↑ ↗
← S 46.890232°
W 16.553650°		 ← 208.68 m → S 46.890232°
W 16.550903°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 46.892109°
W 16.553650°		 ← 208.68 m →
43 554 m²		 S 46.892109°
W 16.550903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454021453857422 y=0.647830963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454021453857422 × 217)
    floor (0.454021453857422 × 131072)
    floor (59509.5)     		tx = 59509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647830963134766 × 217)
    floor (0.647830963134766 × 131072)
    floor (84912.5)     		ty = 84912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59509 / 84912 ti = "17/59509/84912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59509/84912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59509 ÷ 217
    59509 ÷ 131072     		x = 0.454017639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84912 ÷ 217
    84912 ÷ 131072     		y = 0.6478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454017639160156 × 2 - 1) × π
    -0.0919647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28891569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.928825367038208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28891569} λ = -0.28891569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928825367038208))-π/2
    2×atan(0.395017438466834)-π/2
    2×0.376203699415611-π/2
    0.752407398831222-1.57079632675     		φ = -0.81838893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28891569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.553650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81838893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.890232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59509 KachelY 84912 -0.28891569 -0.81838893 -16.553650 -46.890232
    Oben rechts KachelX + 1 59510 KachelY 84912 -0.28886776 -0.81838893 -16.550903 -46.890232
    Unten links KachelX 59509 KachelY + 1 84913 -0.28891569 -0.81842169 -16.553650 -46.892109
    Unten rechts KachelX + 1 59510 KachelY + 1 84913 -0.28886776 -0.81842169 -16.550903 -46.892109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81838893--0.81842169) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dl = 208.713959999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81838893--0.81842169) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dr = 208.713959999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28891569--0.28886776) × cos(-0.81838893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.683398248521694 × 6371000     		do = 208.683876467157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28891569--0.28886776) × cos(-0.81842169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.683374331855384 × 6371000     		du = 208.676573225382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81838893)-sin(-0.81842169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683398248521694-0.683374331855384)×R²
    abs(-0.28886776--0.28891569)×2.39166663094093e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39166663094093e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39166663094093e-05×40589641000000     		ar = 43554.4761051205m²