Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59509 / 82663
↖ ↑ ↗
← S 42.502478°
W 16.553650°		 ← 225.13 m → S 42.502478°
W 16.550903°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
S 42.504503°
W 16.553650°		 ← 225.12 m →
50 687 m²		 S 42.504503°
W 16.550903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454021453857422 y=0.630672454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454021453857422 × 217)
    floor (0.454021453857422 × 131072)
    floor (59509.5)     		tx = 59509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630672454833984 × 217)
    floor (0.630672454833984 × 131072)
    floor (82663.5)     		ty = 82663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59509 / 82663 ti = "17/59509/82663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59509/82663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59509 ÷ 217
    59509 ÷ 131072     		x = 0.454017639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82663 ÷ 217
    82663 ÷ 131072     		y = 0.630668640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454017639160156 × 2 - 1) × π
    -0.0919647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28891569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630668640136719 × 2 - 1) × π
    -0.261337280273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.821015279792702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28891569} λ = -0.28891569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821015279792702))-π/2
    2×atan(0.439984720067257)-π/2
    2×0.414494072960448-π/2
    0.828988145920896-1.57079632675     		φ = -0.74180818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28891569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.553650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74180818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.502478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59509 KachelY 82663 -0.28891569 -0.74180818 -16.553650 -42.502478
    Oben rechts KachelX + 1 59510 KachelY 82663 -0.28886776 -0.74180818 -16.550903 -42.502478
    Unten links KachelX 59509 KachelY + 1 82664 -0.28891569 -0.74184352 -16.553650 -42.504503
    Unten rechts KachelX + 1 59510 KachelY + 1 82664 -0.28886776 -0.74184352 -16.550903 -42.504503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74180818--0.74184352) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74180818--0.74184352) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28891569--0.28886776) × cos(-0.74180818) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73724811826127 × 6371000     		do = 225.127582006079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28891569--0.28886776) × cos(-0.74184352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73722424131614 × 6371000     		du = 225.120290893644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74180818)-sin(-0.74184352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73724811826127-0.73722424131614)×R²
    abs(-0.28886776--0.28891569)×2.38769451307297e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38769451307297e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38769451307297e-05×40589641000000     		ar = 50686.9109381259m²