Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59508 / 59261
↖ ↑ ↗
← S 80.981105°
E146.887207°		 ← 95.76 m → S 80.981105°
E146.892700°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
S 80.981966°
E146.887207°		 ← 95.75 m →
9 169 m²		 S 80.981966°
E146.892700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908027648925781 y=0.904258728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908027648925781 × 216)
    floor (0.908027648925781 × 65536)
    floor (59508.5)     		tx = 59508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904258728027344 × 216)
    floor (0.904258728027344 × 65536)
    floor (59261.5)     		ty = 59261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59508 / 59261 ti = "16/59508/59261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59508/59261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59508 ÷ 216
    59508 ÷ 65536     		x = 0.90802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59261 ÷ 216
    59261 ÷ 65536     		y = 0.904251098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90802001953125 × 2 - 1) × π
    0.8160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56366539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.808502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5399845632683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56366539} λ = 2.56366539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5399845632683))-π/2
    2×atan(0.0788676172395257)-π/2
    2×0.0787047032971509-π/2
    0.157409406594302-1.57079632675     		φ = -1.41338692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56366539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.887207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41338692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.981105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59508 KachelY 59261 2.56366539 -1.41338692 146.887207 -80.981105
    Oben rechts KachelX + 1 59509 KachelY 59261 2.56376127 -1.41338692 146.892700 -80.981105
    Unten links KachelX 59508 KachelY + 1 59262 2.56366539 -1.41340195 146.887207 -80.981966
    Unten rechts KachelX + 1 59509 KachelY + 1 59262 2.56376127 -1.41340195 146.892700 -80.981966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41338692--1.41340195) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dl = 95.7561299994645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41338692--1.41340195) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dr = 95.7561299994645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56366539-2.56376127) × cos(-1.41338692) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156760170576945 × 6371000     		do = 95.7571822019166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56366539-2.56376127) × cos(-1.41340195) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156745326379656 × 6371000     		du = 95.7481146020331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41338692)-sin(-1.41340195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156760170576945-0.156745326379656)×R²
    abs(2.56376127-2.56366539)×1.48441972892266e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48441972892266e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48441972892266e-05×40589641000000     		ar = 9168.90304810997m²