Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59507 / 82641
↖ ↑ ↗
← S 42.457914°
W 16.559143°		 ← 225.33 m → S 42.457914°
W 16.556396°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 42.459940°
W 16.559143°		 ← 225.33 m →
50 777 m²		 S 42.459940°
W 16.556396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454006195068359 y=0.630504608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454006195068359 × 217)
    floor (0.454006195068359 × 131072)
    floor (59507.5)     		tx = 59507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630504608154297 × 217)
    floor (0.630504608154297 × 131072)
    floor (82641.5)     		ty = 82641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59507 / 82641 ti = "17/59507/82641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59507/82641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59507 ÷ 217
    59507 ÷ 131072     		x = 0.454002380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82641 ÷ 217
    82641 ÷ 131072     		y = 0.630500793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454002380371094 × 2 - 1) × π
    -0.0919952392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28901157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630500793457031 × 2 - 1) × π
    -0.261001586914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.81996066800106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28901157} λ = -0.28901157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81996066800106))-π/2
    2×atan(0.440448977904047)-π/2
    2×0.414882966731041-π/2
    0.829765933462082-1.57079632675     		φ = -0.74103039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28901157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.559143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74103039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.457914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59507 KachelY 82641 -0.28901157 -0.74103039 -16.559143 -42.457914
    Oben rechts KachelX + 1 59508 KachelY 82641 -0.28896363 -0.74103039 -16.556396 -42.457914
    Unten links KachelX 59507 KachelY + 1 82642 -0.28901157 -0.74106576 -16.559143 -42.459940
    Unten rechts KachelX + 1 59508 KachelY + 1 82642 -0.28896363 -0.74106576 -16.556396 -42.459940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74103039--0.74106576) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74103039--0.74106576) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28901157--0.28896363) × cos(-0.74103039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737773387313956 × 6371000     		do = 225.334982772524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28901157--0.28896363) × cos(-0.74106576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.737749510388292 × 6371000     		du = 225.327690144834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74103039)-sin(-0.74106576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737773387313956-0.737749510388292)×R²
    abs(-0.28896363--0.28901157)×2.3876925663302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3876925663302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3876925663302e-05×40589641000000     		ar = 50776.6748651039m²