Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59506 / 35805
↖ ↑ ↗
← N 62.958969°
W 16.561889°		 ← 138.83 m → N 62.958969°
W 16.559143°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
N 62.957720°
W 16.561889°		 ← 138.83 m →
19 282 m²		 N 62.957720°
W 16.559143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453998565673828 y=0.273174285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453998565673828 × 217)
    floor (0.453998565673828 × 131072)
    floor (59506.5)     		tx = 59506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273174285888672 × 217)
    floor (0.273174285888672 × 131072)
    floor (35805.5)     		ty = 35805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59506 / 35805 ti = "17/59506/35805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59506/35805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59506 ÷ 217
    59506 ÷ 131072     		x = 0.453994750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35805 ÷ 217
    35805 ÷ 131072     		y = 0.273170471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453994750976562 × 2 - 1) × π
    -0.092010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28905950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273170471191406 × 2 - 1) × π
    0.453659057617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.42521196260389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28905950} λ = -0.28905950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42521196260389))-π/2
    2×atan(4.15873924653998)-π/2
    2×1.33481881743227-π/2
    2.66963763486455-1.57079632675     		φ = 1.09884131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28905950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.561889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09884131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.958969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59506 KachelY 35805 -0.28905950 1.09884131 -16.561889 62.958969
    Oben rechts KachelX + 1 59507 KachelY 35805 -0.28901157 1.09884131 -16.559143 62.958969
    Unten links KachelX 59506 KachelY + 1 35806 -0.28905950 1.09881951 -16.561889 62.957720
    Unten rechts KachelX + 1 59507 KachelY + 1 35806 -0.28901157 1.09881951 -16.559143 62.957720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09884131-1.09881951) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09884131-1.09881951) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28905950--0.28901157) × cos(1.09884131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454628449760004 × 6371000     		do = 138.826266314553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28905950--0.28901157) × cos(1.09881951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454647866501798 × 6371000     		du = 138.832195450243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09884131)-sin(1.09881951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454628449760004-0.454647866501798)×R²
    abs(-0.28901157--0.28905950)×1.94167417948421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94167417948421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94167417948421e-05×40589641000000     		ar = 19281.6864537609m²