Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59506 / 35794
↖ ↑ ↗
← N 62.972701°
W 16.561889°		 ← 138.76 m → N 62.972701°
W 16.559143°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
N 62.971454°
W 16.561889°		 ← 138.77 m →
19 255 m²		 N 62.971454°
W 16.559143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453998565673828 y=0.273090362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453998565673828 × 217)
    floor (0.453998565673828 × 131072)
    floor (59506.5)     		tx = 59506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273090362548828 × 217)
    floor (0.273090362548828 × 131072)
    floor (35794.5)     		ty = 35794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59506 / 35794 ti = "17/59506/35794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59506/35794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59506 ÷ 217
    59506 ÷ 131072     		x = 0.453994750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35794 ÷ 217
    35794 ÷ 131072     		y = 0.273086547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453994750976562 × 2 - 1) × π
    -0.092010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28905950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273086547851562 × 2 - 1) × π
    0.453826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42573926849971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28905950} λ = -0.28905950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42573926849971))-π/2
    2×atan(4.16093275253736)-π/2
    2×1.33493865341919-π/2
    2.66987730683838-1.57079632675     		φ = 1.09908098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28905950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.561889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09908098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.972701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59506 KachelY 35794 -0.28905950 1.09908098 -16.561889 62.972701
    Oben rechts KachelX + 1 59507 KachelY 35794 -0.28901157 1.09908098 -16.559143 62.972701
    Unten links KachelX 59506 KachelY + 1 35795 -0.28905950 1.09905920 -16.561889 62.971454
    Unten rechts KachelX + 1 59507 KachelY + 1 35795 -0.28901157 1.09905920 -16.559143 62.971454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09908098-1.09905920) × R
    2.17800000001933e-05 × 6371000     		dl = 138.760380001232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09908098-1.09905920) × R
    2.17800000001933e-05 × 6371000     		dr = 138.760380001232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28905950--0.28901157) × cos(1.09908098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454414967145207 × 6371000     		do = 138.761076829929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28905950--0.28901157) × cos(1.09905920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454434368446237 × 6371000     		du = 138.767001250596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09908098)-sin(1.09905920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454414967145207-0.454434368446237)×R²
    abs(-0.28901157--0.28905950)×1.9401301029065e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9401301029065e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9401301029065e-05×40589641000000     		ar = 19254.9507884431m²