Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59505 / 81752
↖ ↑ ↗
← S 40.630630°
W 16.564636°		 ← 231.79 m → S 40.630630°
W 16.561889°		 →
↑
231.78 m
↓
↑
231.78 m
↓
S 40.632714°
W 16.564636°		 ← 231.79 m →
53 724 m²		 S 40.632714°
W 16.561889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453990936279297 y=0.623722076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453990936279297 × 217)
    floor (0.453990936279297 × 131072)
    floor (59505.5)     		tx = 59505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623722076416016 × 217)
    floor (0.623722076416016 × 131072)
    floor (81752.5)     		ty = 81752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59505 / 81752 ti = "17/59505/81752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59505/81752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59505 ÷ 217
    59505 ÷ 131072     		x = 0.453987121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81752 ÷ 217
    81752 ÷ 131072     		y = 0.62371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453987121582031 × 2 - 1) × π
    -0.0920257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28910744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.2474365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777344764238831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28910744} λ = -0.28910744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777344764238831))-π/2
    2×atan(0.459624804715431)-π/2
    2×0.430829027343121-π/2
    0.861658054686241-1.57079632675     		φ = -0.70913827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28910744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.564636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70913827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.630630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59505 KachelY 81752 -0.28910744 -0.70913827 -16.564636 -40.630630
    Oben rechts KachelX + 1 59506 KachelY 81752 -0.28905950 -0.70913827 -16.561889 -40.630630
    Unten links KachelX 59505 KachelY + 1 81753 -0.28910744 -0.70917465 -16.564636 -40.632714
    Unten rechts KachelX + 1 59506 KachelY + 1 81753 -0.28905950 -0.70917465 -16.561889 -40.632714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70913827--0.70917465) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dl = 231.77698000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70913827--0.70917465) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dr = 231.77698000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28910744--0.28905950) × cos(-0.70913827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758923299064862 × 6371000     		do = 231.794710219975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28910744--0.28905950) × cos(-0.70917465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758899608633306 × 6371000     		du = 231.787474552386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70913827)-sin(-0.70917465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758923299064862-0.758899608633306)×R²
    abs(-0.28905950--0.28910744)×2.36904315563669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36904315563669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36904315563669e-05×40589641000000     		ar = 53723.8393900377m²