Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59505 / 39211
↖ ↑ ↗
← N 58.385878°
W 16.564636°		 ← 160.10 m → N 58.385878°
W 16.561889°		 →
↑
160.10 m
↓
↑
160.10 m
↓
N 58.384438°
W 16.564636°		 ← 160.11 m →
25 634 m²		 N 58.384438°
W 16.561889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453990936279297 y=0.299160003662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453990936279297 × 217)
    floor (0.453990936279297 × 131072)
    floor (59505.5)     		tx = 59505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299160003662109 × 217)
    floor (0.299160003662109 × 131072)
    floor (39211.5)     		ty = 39211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59505 / 39211 ti = "17/59505/39211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59505/39211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59505 ÷ 217
    59505 ÷ 131072     		x = 0.453987121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39211 ÷ 217
    39211 ÷ 131072     		y = 0.299156188964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453987121582031 × 2 - 1) × π
    -0.0920257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28910744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299156188964844 × 2 - 1) × π
    0.401687622070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.26193888249798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28910744} λ = -0.28910744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26193888249798))-π/2
    2×atan(3.53226349616738)-π/2
    2×1.29491106734287-π/2
    2.58982213468573-1.57079632675     		φ = 1.01902581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28910744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.564636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01902581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.385878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59505 KachelY 39211 -0.28910744 1.01902581 -16.564636 58.385878
    Oben rechts KachelX + 1 59506 KachelY 39211 -0.28905950 1.01902581 -16.561889 58.385878
    Unten links KachelX 59505 KachelY + 1 39212 -0.28910744 1.01900068 -16.564636 58.384438
    Unten rechts KachelX + 1 59506 KachelY + 1 39212 -0.28905950 1.01900068 -16.561889 58.384438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01902581-1.01900068) × R
    2.51300000000398e-05 × 6371000     		dl = 160.103230000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01902581-1.01900068) × R
    2.51300000000398e-05 × 6371000     		dr = 160.103230000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28910744--0.28905950) × cos(1.01902581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.524195817885047 × 6371000     		do = 160.102895582341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28910744--0.28905950) × cos(1.01900068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.524217218371229 × 6371000     		du = 160.109431841669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01902581)-sin(1.01900068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524195817885047-0.524217218371229)×R²
    abs(-0.28905950--0.28910744)×2.14004861824879e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14004861824879e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14004861824879e-05×40589641000000     		ar = 25633.5139546963m²