Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59504 / 81756
↖ ↑ ↗
← S 40.638967°
W 16.567383°		 ← 231.77 m → S 40.638967°
W 16.564636°		 →
↑
231.78 m
↓
↑
231.78 m
↓
S 40.641051°
W 16.567383°		 ← 231.76 m →
53 717 m²		 S 40.641051°
W 16.564636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453983306884766 y=0.623752593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453983306884766 × 217)
    floor (0.453983306884766 × 131072)
    floor (59504.5)     		tx = 59504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623752593994141 × 217)
    floor (0.623752593994141 × 131072)
    floor (81756.5)     		ty = 81756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59504 / 81756 ti = "17/59504/81756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59504/81756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59504 ÷ 217
    59504 ÷ 131072     		x = 0.4539794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81756 ÷ 217
    81756 ÷ 131072     		y = 0.623748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28915538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.24749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777536511837311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28915538} λ = -0.28915538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777536511837311))-π/2
    2×atan(0.45953668121193)-π/2
    2×0.430756271025848-π/2
    0.861512542051695-1.57079632675     		φ = -0.70928378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28915538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.567383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70928378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.638967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59504 KachelY 81756 -0.28915538 -0.70928378 -16.567383 -40.638967
    Oben rechts KachelX + 1 59505 KachelY 81756 -0.28910744 -0.70928378 -16.564636 -40.638967
    Unten links KachelX 59504 KachelY + 1 81757 -0.28915538 -0.70932016 -16.567383 -40.641051
    Unten rechts KachelX + 1 59505 KachelY + 1 81757 -0.28910744 -0.70932016 -16.564636 -40.641051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70928378--0.70932016) × R
    3.6379999999947e-05 × 6371000     		dl = 231.776979999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70928378--0.70932016) × R
    3.6379999999947e-05 × 6371000     		dr = 231.776979999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28915538--0.28910744) × cos(-0.70928378) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758828537825225 × 6371000     		do = 231.765767698504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28915538--0.28910744) × cos(-0.70932016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.758804843376505 × 6371000     		du = 231.75853080397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70928378)-sin(-0.70932016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758828537825225-0.758804843376505)×R²
    abs(-0.28910744--0.28915538)×2.36944487199686e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36944487199686e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36944487199686e-05×40589641000000     		ar = 53717.1310376436m²