Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59503 / 85910
↖ ↑ ↗
← S 48.730832°
W 16.570130°		 ← 201.46 m → S 48.730832°
W 16.567383°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.732644°
W 16.570130°		 ← 201.45 m →
40 583 m²		 S 48.732644°
W 16.567383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453975677490234 y=0.655445098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453975677490234 × 217)
    floor (0.453975677490234 × 131072)
    floor (59503.5)     		tx = 59503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655445098876953 × 217)
    floor (0.655445098876953 × 131072)
    floor (85910.5)     		ty = 85910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59503 / 85910 ti = "17/59503/85910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59503/85910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59503 ÷ 217
    59503 ÷ 131072     		x = 0.453971862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85910 ÷ 217
    85910 ÷ 131072     		y = 0.655441284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453971862792969 × 2 - 1) × π
    -0.0920562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28920332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655441284179688 × 2 - 1) × π
    -0.310882568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.976666392859024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28920332} λ = -0.28920332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976666392859024))-π/2
    2×atan(0.376564326334075)-π/2
    2×0.360141428615146-π/2
    0.720282857230293-1.57079632675     		φ = -0.85051347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28920332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.570130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85051347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.730832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59503 KachelY 85910 -0.28920332 -0.85051347 -16.570130 -48.730832
    Oben rechts KachelX + 1 59504 KachelY 85910 -0.28915538 -0.85051347 -16.567383 -48.730832
    Unten links KachelX 59503 KachelY + 1 85911 -0.28920332 -0.85054509 -16.570130 -48.732644
    Unten rechts KachelX + 1 59504 KachelY + 1 85911 -0.28915538 -0.85054509 -16.567383 -48.732644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85051347--0.85054509) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85051347--0.85054509) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28920332--0.28915538) × cos(-0.85051347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659597298949554 × 6371000     		do = 201.457993133537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28920332--0.28915538) × cos(-0.85054509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659573532421104 × 6371000     		du = 201.450734223998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85051347)-sin(-0.85054509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659597298949554-0.659573532421104)×R²
    abs(-0.28915538--0.28920332)×2.37665284497091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37665284497091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37665284497091e-05×40589641000000     		ar = 40583.1870500777m²